Topologie...

[Nicolas59]

Bonjour j'ai un problème qui sur la notion d'intérieur:

Dans R²:
J'ai un ensemble A = y>1 et y<-1

Je comprends pas pourquoi on me dit que l'adhérence vaut l'ensemble vide.
Voici la justification:
Pour tout (0,y) appartenant à A on a:
pour tout r>0 (r/2 , y) appartient à B((0,y),r)\A.

J'aimerais un explication sur cette preuve, et j'aimerais savoir à quelle définition de l'intérieur cela nous renvoie.

[Nightmare]

Salut

[quote]A = y > 1 et y 1 et y<-1} ? Dans ce cas A est vide...

[Nicolas59]

En fait l'ensemble A , dans R², vaut la droite des ordonnées privée de [-1;1].

[Nightmare]

Et on te dit que l'adhérence (dans R²) de cet ensemble est vide? Ce n'est pas possible, l'adhérence d'un ensemble contient en particulier cet ensemble...

[Nicolas59]

Oh la boulette, dans mon premier message, je voulais dire que je ne comprenais pas pourquoi c'était l'intérieur qui était vide.

[Nightmare]

Ah ! Là la question a déjà plus de sens !

L'intérieur d'un ensemble, c'est le plus grand ouvert qui est contenu dans cet ensemble. Mais il est assez clair que n'importe quelle boule (qui ici, pour la topologie usuelle sur R², sont des disques) centrée en un point de A contient des points qui ne sont pas dans A (c'est ce que dit formellement la démonstration de ton prof). Du coup, on ne pourra trouver aucun ouvert non vide contenu dans A (puisqu'un ouvert contient au moins un disque)

[Nicolas59]

Donc plus généralement (mais formellement) , dès qu'il est question d'intérieur d'un ensemble ou quand on veut montrer qu'un ensemble est ouvert, c'est bien la totalité de la boule centrée en chaque point de l'ensemble qui doit inclus dans cet ensemble, n'est ce pas?

[Nightmare]

Oui, un ouvert, c'est un ensemble qui contient un voisinage de chacun de ses points, donc en particulier, une boule ouverte centrée en chacun de ses points.