Topologie - Ex. 1 sur 3 - Suite décroissante de compacts

[Niels]

Bonjour,

Je bûche sur un exercice de Topologie :

Soit une suite décroissante de compacts non vides d'un espace séparé Montrer que n'est pas vide et que pour tout ouvert contenant , il existe contenu dans

Pour la première partie de la question, je dis que tous les sont des parties compactes de qui est compact, donc a fortiori séparé. Donc les sont des fermés De plus, on constate que les ont la propriété d'intersection finie. Donc comme est compact, n'est pas vide.

Mais je sèche sur la deuxième partie de la question... Il faut certainement utiliser l'hypothèse « séparé », n'est-ce pas ?

Merci d'avance pour vos suggestions !
Cordialement,
Niels.

[Daniel-Jackson]

Bonjour,

Je bûche sur un exercice de Topologie :

Soit une suite décroissante de compacts non vides d'un espace séparé Montrer que n'est pas vide et que pour tout ouvert contenant , il existe contenu dans

Pour la première partie de la question, je dis que tous les sont des parties compactes de qui est compact, donc a fortiori séparé. Donc les sont des fermés De plus, on constate que les ont la propriété d'intersection finie. Donc comme est compact, n'est pas vide.

Il y'a quelque chose qui cloche , je n'arrive pas à voir le raisonement que tu utilise . c'est quoi "la propriété de l'intersection finie" .

Sinon je pense que c'est assez classique ce genre de chose , on a des compacts .

Tu construit une suite Xn , avec X0 dans K0 , et Xn dans Kn , on obtient ainsi une suite de K0 qui est compact donc on peut extraire une sous suite convergente .... il va de soit que la limite est dans l'intersection ....

[Daniel-Jackson]

et que pour tout ouvert contenant , il existe contenu dans

Mais je sèche sur la deuxième partie de la question... Il faut certainement utiliser l'hypothèse « séparé », n'est-ce pas ?

Merci d'avance pour vos suggestions !
Cordialement,
Niels.

L'hypothèse E séparé sert à mon avis à introduire la notion de compacité , de suite , de limite , etc... car un espace non séparé cause beaucoup de dégat et n'est pas vraiment "exploitable" mathématiquement parlant...
Ah zut j'ai modifié mon post , j'avais mal lu :briques:

[Daniel-Jackson]

Pour la deuxième partie , je passerais par le complémentaire:
Si alors
Or et cette réunion est cette fois si croissante .
Donc on a et là j'ai envie de dire qu'il existe un Kn à partir du quel on a inclusion comme c'est une réunion croissante et repasser par le complémentaire mais ........y'a un truc qui est pas complet je vais réfléchir :stupid_in

[Yipee]

Pour le deuxième, il suffit de faire comme le premier. Si U est l'ouvert contenant K et F son complémentaire. On construit une suite tel que . La limite (d'une suite extraite) est alors dans ce qui est absurde.

[Niels]

Merci beaucoup de m'avoir répondu !
Malheureusement, je ne suis pas sûr de pouvoir utiliser votre argument car il fait intervenir des suites, alors que dans l'énoncé on n'est pas forcément dans un espace métrique. Donc la compacité ne se caractérise plus par la propriété de Bolzano-Weiestrass (BW) : «A est compact ssi de toute suite d'éléments de A on peut en extraire une sous-suite convergente».

De plus, ce qu'il me semble bizarre, c'est qu'à aucun moment on n'utilise le fait que l'espace dans lequel on prend l'ouvert est séparé !

Réflechissons encore un peu...

[Yipee]

Ah, OK j'avais mal vu.

Dans ce cas, on suppose par l'absurde que K est l'ensemble vide. On en déduit que pour tout élément x de l'espace, il un entier n(x) tel que x ne soit pas dans . De plus étant fermé (l'espace est séparé) on peut même trouver un ouvert U(x) contenant x qui ne rencontre pas .

Cela forme un recouvrement de E donc cela induit un recouvrement de . On en extrait un sous-recouvrement fini : .On prend alors N le maximum des . Donc est vide.
C'est absurde.

La deuxième partie se traite probablement de la même manière.

[Niels]

C'est bon, je crois avoir résolu cet exercice.

Merci pour votre soutien :-)

Niels.