Convergence uniforme sur les compacts

[Beetlejuice]

Bonsoir j'ai 4 suites de fonctions à étudier ( Cv simple et Cu sur compacts) pourriez vous me dire mes réponses sont bonne s'il vous plaît
1) f_n(x) = (x+1)/(x²+n) R-->R CS vers la fonction nulle pour tout x pour la CUC, je fixe [a,b] inclus dans R , pour tout x appartenant à [a,b] (a+1)/(a²+n)>(x+1)/(x²+n)> (b+1)/(b²+n) f_n(x) est encadré par deux termes tendant vers 0 en l'infini donc CUC vers la fonction nulle
2) f_n(x) = (n-x²)/(n+x²) R-->R pour tout x de R (fn) converge vers la fonction f(x) = 1 pour CUC, je fixe [a,b] inclus dans R , pour tout x appartenant à [a,b] j'ai (n-a²)/(a²+n)>(n-x²)/(n+x²)> (n-b²)/(n+b²) f_n(x) encadré par deux termes tendant vers 1 en l'infini donc CUC vers f(x) = 1
3) f_n(x) = e^(-nx)sin(n²x) R+-->R pour tout x de R+ (fn) converge vers la fonction nulle et pour CUC en fixant [a,b] , on a |f_n(x)| =< e^(-na) qui tend vers 0 en infini donc CUC vers fonction nulle
4) f_n(x) = x²e^(-sin(x)/n) R--->R qui converge vers f(x) = 0 si x= 0 et f(x) = x² si x!=0 mais je ne sais pas étudier la CUC avec une fonction f discontinue, pourriez vous me dire ce qu'il faut faire à cette question merci d'avance

[tournesol]

-1) ta fonction n'est pas décroissante sur R , donc ton raisonnement est faux .
Dérive ta fonction et montre que son maximum sur R+ est 1/2(sqrt (n+1)-1)
sur R tu peux majorer |fn(x)| par fn(|x|) à démontrer bien sur .
Donc sur R |fn(x)| est majoré par 1/2(sqrt (n+1)-1) qui tend vers 0 .
Donc fn converge uniformément sur R vers la fonction nulle , donc en particulier sur tout compact de R , et en particulier simplement sur R .

[Beetlejuice]

Bonjour,merci beaucoup j'ai essayé votre technique mais au numérateur j'ai -x²+n-2x comment isoler n dans ce cas Pour le max ? sinon la convergence uniforme vers la fonction nulle se montre en explicitant une suite un ( j'ai choisi un= n ) tel que fn(n) tend vers 0 donc CVU vers fonction nulle, mais merci de m'avoir ft remarquer mon erreur, et concernant les autres questions, ai-je juste ?

[tournesol]

pour 4 ) , 0^2 =0 donc f est continue sur R