Suite croisante ou décroissante

[Rockleader]

J'ai honte, c'est du niveau terminale mais j'ai un trou :)

J'ai une suite U_0 = 1 et U_n+1 = sqrt(1+Un)


Je fais donc la différence U_n+1 - Un et je détermine le signe.


Sauf que je tombe sur : (1-Un²)/(1+Un) que je peux récrire [1/1+Un] + [-Un²/1+Un]

Le premier membres est positif mai je vois mal comment on peut déterminer si le second fera changer le signe du premier ou non...du coup j'arrive pas à conclure...







Ensuite, J'aimerais montrer que la suite est majorée par 2, j'utilise donc un raisonnement par récurrence:

Initialisation

U0 = 1 < 2
U1= sqrt(2) < 2

On suppose Un < 2
On veut montrer que Un+1 < 2

Hérédité.

Un+1 = sqrt(1+Un) d'après l'hypothèse de récurence

On a Un+1 < sqrt(3) ce qui fait environ 1.73

Voilà ce que j'ai fait pour démontrer que c'était majorée par 2; mais je suis pas sur que ce soit ce qui était attendu dans la question vu que je ne trouve pas précisément 2.

[Rockleader]

Par ailleurs je m’aperçois que mon calcul est faux.

J'obtiens en réalité:




Mais on en revient sensiblement au même problème

[XENSECP]

Ok pour la majoration par 2. Majorée par 2 ne veut pas dire que ça tend vers 2 nécessairement...

Pour le premier :

[Joker62]

Hello

u_(n+1) = f(u_n) avec f(x) = sqrt(1+x)

comme f est croissante (u_n) est monotone et le sens de variation est déterminé par la différence u_1 - u_0

Ici u_1 = sqrt(2) < u_0 donc la suite va être croissante.

On fait une récurrence :

P(n) : 0 <= u_n <= u_(n+1) <= 2

P(1) est claire
L'hérédité est claire par croissance de f et du fait que f(2) = sqrt(3) < 2

Et c'est fini.

[Doraki]

Ensuite, J'aimerais montrer que la suite est majorée par 2, j'utilise donc un raisonnement par récurrence:
[...]
Voilà ce que j'ai fait pour démontrer que c'était majorée par 2; mais je suis pas sur que ce soit ce qui était attendu dans la question vu que je ne trouve pas précisément 2.

La preuve est tout à fait correcte. De quelle question tu parles ?

[Rockleader]

Ok pour la majoration par 2. Majorée par 2 ne veut pas dire que ça tend vers 2 nécessairement...

Pour le premier :

Ok, je ne l'avais pas compris comme ça c'est donc ok pour la majoration par 2.

Pour le premier ça reviendrait à étudier le signe du numérateur comme s'il s'agissait d'une fonction donc ?

Mais le raisonnement est il valable puisque l'on sait que l'on n'a pas x mais bien une suite Un ?

Je ne m'imagine pas (peut être à tord) dire que je vais étudier le discriminant de l'équation
-Un²+Un+1 =0

Cela me parait un peu bizarre.

[Pythales]

Ok, je ne l'avais pas compris comme ça c'est donc ok pour la majoration par 2.

Pour le premier ça reviendrait à étudier le signe du numérateur comme s'il s'agissait d'une fonction donc ?

Mais le raisonnement est il valable puisque l'on sait que l'on n'a pas x mais bien une suite Un ?

Je ne m'imagine pas (peut être à tord) dire que je vais étudier le discriminant de l'équation
-Un²+Un+1 =0

Cela me parait un peu bizarre.

d'où la conclusion ...

[Rockleader]

d'où la conclusion ...

Je vois pas ce que tu peux conclure de ça...

[Pythales]

Je vois pas ce que tu peux conclure de ça...

est de même signe que

[Rockleader]

est de même signe que

Ouai d'accord mais dire U1-U0 >0 ça ne veut pas nécessairement dire que Un+1-Un >0...

[Doraki]

Pour toi ça veut dire quoi "u(n+1)-u(n) est du même signe que u1-u0", (ce avec quoi tu es d'accord) ?

[Rockleader]

Pour toi ça veut dire quoi "u(n+1)-u(n) est du même signe que u1-u0", (ce avec quoi tu es d'accord) ?

Euh non je ne suis pas du tout d'accord avec ça...ça n'a pas de sens de dire ça...si la suite représente un truc parabolique par exemple cette affirmation est fausse...

[Doraki]

Si tu n'es pas d'accord, pourquoi as-tu dis que tu étais d'accord avec Pythalès !?

[Rockleader]

Ouai d'accord mais dire U1-U0 >0 ça ne veut pas nécessairement dire que Un+1-Un >0...

Lorsque j'ai dis cela, c'était pour dire que l'exemple U1-U0 >0 était peut être vrai mais que ça n'en faisait pas une généralité pour autant...


Bref, on piétine là; ça ne répond pas à la question tout ça...

[Rockleader]

Bon, je récapitule ou j'en suis:

Montrer que la suite est croissante : je n'arrive toujours pas à la conclusion
Montrer que la suite est majorée par 2 : Ok


Montrer que la suite converge vers le nombre réel positif tel que t²-t-1=0 : Là je vois pas du tout comment procéder.

Trouver la valeur exacte de t: on le trouve en cherchant les racines et en prenant la valeur positive..

[Doraki]

Je vois pas comment Pythalès aurait pu être plus clair.
Mais bon je vais détailler les étapes :

U(n+1) - Un = (Un - U(n-1)) / (sqrt(Un +1)+sqrt(U(n-1)+1))

a) montrer que pour tout n, sqrt(Un+1)+sqrt(U(n-1)+1) est strictement positif
b) montrer que pour tout n, U(n+1) - Un est de même signe que Un - U(n-1).
c) calculer U1.
d) montrer que U1 - U0 >= 0.
e) montrer par récurrence sur n que pour tout n, U(n+1) - Un >= 0.
f) montrer que Un est croissante.


Sinon, que sais-tu à propos des suites croissantes et bornées ?

[Rockleader]

J'ai résolu cette question là; mais reste un problème; je dois montrer que la suite tend vers le nombre t tel que t²-t-1=0

Et je n'ai aucune idée de comment faire.


On me demande ensuite de calculer ce nombre t.

Je cherche donc mes deux racines; et je trouve t1,2 = 1+-sqrt(17)/2
J'élimine la valeur négative qui ne correspond pas au donnée du problème puisque suite croissante et de premier terme U0=1


Reste la valeur positive de t; mais là soucis; lorsque je calcule la valeur approximative de cette valeur je trouve 2.56
Alors que ma suite est censé être majorée par 2 ce qui a été prouvé à la question précédente.

[Doraki]

Ben 2.56..²-2.56..-1 ça fait 3 et pas 0 donc tu recommences tes calculs jusqu'à trouver une racine de l'équation qui soit vraiment une racine de l'équation.

Pour montrer que la limite vérifie t²-t-1 = 0, réfléchis à que vaut la limite de sqrt(1+un) ?

[Rockleader]

Ben 2.56..²-2.56..-1 ça fait 3 et pas 0 donc tu recommences tes calculs jusqu'à trouver une racine de l'équation qui soit vraiment une racine de l'équation.

Pour montrer que la limite vérifie t²-t-1 = 0, réfléchis à que vaut la limite de sqrt(1+un) ?

Je devais avoir la tête dans les nuages milles excuses; de 1 je cherchais le discriminant alors que ça n'a rien à voir ici. Et en plus je m'étais trompé dans le calcul de mon discriminant

J'aurais plutôt du poser t²-t-1 = t

t²-2t-1 = 0

Soit Delta = 4+4 = 8

Donc ma valeur ce serait plutot t= 1+2sqrt(2)/2 ce qui nous fait environ 1.91

Désolé j'ai été très étourdis hier.



..................

On a prouvé Un < 2

ET racine de 1+Un = U_n+1 est aussi < 2 d'après la récurrence; c'est ce qui a été montré à la question précédente (bien que la valeur réellement trouvé soit racine de 3)

[Doraki]

Donc quand tu veux résoudre l'équation t²-t-1 = 0, tu dis que t²-t-1 = t ?