Topologie - Produit de deux Ensembles Fermé

[Anis1801]

Bonjours,
je dois montrer que:
K1 C R^d1 et K2C R^d2 , deux ensembles fermé alor leur porduit K1xK2 C R^d1+d2 est encore un fermé

Une idée?

[Ben314]

Salut,
A mon sens, la seule question qui se pose c'est de savoir quelle caractérisation des fermés tu compte employer :
- Montrer que le complémentaire est ouvert comme réunion de boules ouvertes.
- Caractérisation séquentielle des fermés.
- Autre chose...
Ensuite, quelque soit la caractérisation choisie, la réponse est quasi-immédiate (perso, je prendrais sans doute la caractérisation séquentielle vu que dans ce cas, la preuve tient une ligne)

[Anis1801]

Merci, oui j'ai un peu du mal avec la caractérisation séquentielle je vois pas trop a quoi sa sert mais je vais tenter sa !
Merci

[Ben314]

Déjà, ça sert très souvent dans le sens "direct" : on a tu te seriner je sais pas combien de fois en terminale qu'il fallait faire attention au fait que, si une suite réelle convergente (vers ) est telle que pour tout alors on a uniquement et maintenant tu possède le vocabulaire nécessaire pour dire la même chose en termes "plus technique" :
- Comme ]-oo,A[ n'est pas fermé dans R alors une suite convergente (dans R) d'éléments de ]-oo,A[ n'a pas forcément sa limite dans ]-oo,A[.
- Alors que ]-oo,A] est fermé dans R donc toute suite convergente (dans R) d'éléments de ]-oo,A] a forcément sa limite dans ]-oo,A].

Donc ça va souvent te servir dans ce sens là : tout les terme de ma suite sont dans le fermé F de l'espace topologique X, de plus ma suite est convergente dans X donc sa limite est en fait elle aussi dans F.

Et ça peut aussi servir dans l'autre sens (vu que c'est une caractérisation) pour démontrer qu'une partie donnée A de X est bien un fermé de X : on prend une suite quelconque d'éléments de A, on suppose qu'elle converge dans X et il faut montrer que la limite est forcément dans A.
Dans certains contextes (comme ici), c'est assez rapide pour montrer qu'une partie est fermée (il y aurait plus rapide, mais il faut avoir vu la notion théorique de fonctions continues et savoir que les projections d'un produit dans les composantes sont continues)

[Anis1801]

merci beaucoup de ta réponse j'ai bien compris maintenant ce qu'est la caractérisation séquentielle apres un petit temps de travail.

Dans le Cas présent on s'intéresse au produit de deux ferme si je veux montrer que le produit de deux fermer est encore fermer je dois extraire deux suite convergente x appartient K1 et y appartient a K2 et je pose K1xK2=(x,y) j'extrait une sous suite de x et une autre de y et montre que le produit de deux sous suite convergente est convergente est donc que K1xK2 est un ferme?

[Ben314]

Non, tu n'a pas à extraire de sous suites : ça ne sert à rien et ça n'a pas bien de sens dans ce contexte.

Pour montrer que K1xK2 est un fermé de R^(d1+d2), tu part d'une suite (Xn) d'éléments de K1xK2 que tu suppose converger dans R^(d1+d2) (et c'est du fait de cette hypothèse que ça sert en général à rien d'extraire quoi que ce soit). Et le but, c'est de montrer que la limite L de la suite, qui est à priori juste un élément de R^(d1+d2), ben c'est en fait forcément un élément de K1xK2.

- C'est quoi "une suite (Xn) d'éléménts de K1xK2" ?
- Ça veut dire quoi qu'elle "converge (vers L) dans R^(d1+d2)" ?
- Comment en déduire que L est lui même dans K1xK2 ?

[Anis1801]

- C'est quoi "une suite (Xn) d'éléments de K1xK2" ?

Eh bien c'est une suite extraite de K1xK2 composer par exemple de (Un) et (Vn) tel que (Un) appartient a K1 et (Vn) appartient a K2 et on devrait avoir Xn=((Un),(Vn)). Xn est donc une suite de couple dans K1 et K2 qui caractérise le produit de ces deux elements

- Ça veut dire quoi qu'elle "converge (vers L) dans R^(d1+d2)" ?

Eh bien si on a que (Xn) Converge dans R^(d1+d2) cela sous entend que l'ensemble est fermer, qu'il admet bien une limite dans l'ensemble qui est L. Mais toutes les suites extraites n'ont pas forcement la meme limite L ?

- Comment en déduire que L est lui même dans K1xK2 ?

La je ne sais pas trop..
Je pense que on doit utiliser le faites que le produit de la limites de deux suites dans K1 et K2 est dans K1xK2?

merci de ton aide encore

[Ben314]

Eh bien c'est une suite extraite de K1xK2 composer par exemple de (Un) et (Vn) tel que (Un) appartient a K1 et (Vn) appartient a K2 et on devrait avoir Xn=((Un),(Vn)). Xn est donc une suite de couple dans K1 et K2 qui caractérise le produit de ces deux elements

Oui, chaque Xn c'est un couple (Un,Vn) avec Un dans K1 et Vn dans K2. Mais c'est pas du tout "une suite extraite" : "extraire" des éléments d'une suite, ça veut dire "ne garder que quelques élément par çi par là" de la suite de départ alors que là, on garde bien TOUT les éléments de la suite. On regarde juste de quelle façon ils s'expriment.

Eh bien si on a que (Xn) Converge dans R^(d1+d2) cela sous entend que l'ensemble est fermer, qu'il admet bien une limite dans l'ensemble qui est L. Mais toutes les suites extraites n'ont pas forcement la meme limite L ?

Non, là, c'est n'importe quoi : dire que cette suite là (celle dont on est parti) converge, ça risque pas de dire que je sais pas qui est fermé (ou ouvert).
Par contre, je pense que tu as vu que lorsque l'on muni un R^d quelconque de la "topologie usuelle", ça signifie qu'une suite quelconque (Xn) de R^d converge si et seulement si chacune des composante de Xn est convergente (chaque Xn c'est un vecteur de R^d donc il admet d composantes).
Par exemple une suite Xn=(xn,yn,zn) de R^3 est convergente ssi les 3 suites (xn), (yn), (zn) sont convergentes.
Bref, ici, dire que la suite (Xn) de R^(d1+d2) est convergente, ça signifie que toute les coordonnées sont convergente et donc en les regroupant, ça signifie que la suite (Un) d'élément de R^d1 est convergente dans R^d1 (vers un certain L1) et que la suite (Vn) d'élément de R^d2 est convergente dans R^d2 (vers un certain L2)

Que peut on dire de L1 et de L2 ?

[Anis1801]

merci j'ai compris finalement