Topologie d'un espace vectoriel normé de dimension finie

[Guigui1Pierre]

Bonjour,

soit (E,N) un ev normé de dimension finie
soit u une suite de Cauchy de (E,N)
Pourquoi, d'après mon bouquin, il existe phi application de IN dans IN telle que:
phi est strictement croissante
u indice phi(n) converge
?

J'ai une piste (mais je trouve pas):
u étant une suite de Cauchy, u est bornée.
On note A l'ensemble des valeurs que prend u sur IN
A est une partie bornée de E.
Si je pouvais montrer que A est un fermé de E, avec le théorème de Bolzano-Weierstrass sur les ev normés de dimension finie, je pourrais conclure que A est compacte et donc que cette application phi existe.

Pouvez-vous m'aider?

[Sylviel]

Tu n'as pas besoin de prendre un A aussi petit. Il te suffit de trouver un compact qui contienne tous les termes de la suite.

[GaBuZoMeu]

Heu ... une suite de Cauchy dans un espace complet ne converge-t-elle pas, sans qu'on ait besoin d'extraire quoi que ce soit ?

[Guigui1Pierre]

GaBoZoMeu, effectivement, tout ev normé de dimension finie est complet donc on peut extraire une suite convergente de la suite u. Sauf que je suis justement sensé faire cette démo sans me servir de ce théorème.

[Sylviel]

Bon, si mon indication n'a pas suffit : au lieu de prendre ton A prends sa fermeture.

[GaBuZoMeu]

Je le répète, c'est la suite elle-même qui est convergente puisqu'elle est de Cauchy.
Et tu es censé faire l'exercice sans savoir qu'une suite de Cauchy de réels converge ??? Alors que tu comptes appliquer Bolzano-Weierstrass ???? Ça me semble un peu n'importe quoi.
Peux tu donner précisément l'énoncé de ton exercice ?

[Guigui1Pierre]

Dans le bouquin d'où je tire ce problème, on démontre Bolzano-Weierstrass (sur les ev normé de dim finie) avant de montrer que tout ev normé de dim finie est complet.
En fait, la démo que je recherche est incluse dans la démo de "tout ev normé de dim finie est un espace de Banach".
Mais je pense que je peux trouver un fermé borné qui contient A. Et ça sera bon pour moi.

[Guigui1Pierre]

oui c'est bon, étant donné que la fermeture d'une partie bornée est bornée. J'ai mon fermé borné donc mon compact.
Merci à tous les deux.

[GaBuZoMeu]

Et dans ton bouquin, ils savent qu'une suite de Cauchy de réels converge ? Il suffit alors d'appliquer ça aux suites des coordonnées (dans une base quelconque) pour avoir la convergence de la suite u.
Franchement, pourquoi chercher midi à quatorze heures ?

[Guigui1Pierre]

Merci pour cette 2eme méthode