Espace vectoriel de dimension finie... 3ème partie

[Bourasland]

Bonjour à tous.
J'avais posté il y a deux jours un problème http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=63321 mais je n'avais pas posté la partie 3 de ce problème et j'aimerais avoir de l'aide sur celle-ci...
Voici l'énoncé (la partie 3 n'est pas indépendante des parties précédentes...) :

Partie 3

On considère, dans cette partie, l'application qui, à toute fonction associe la fonction avec ,





On note l'endomorphisme de définie par pour tout .

1) Montrer que
2) En déduire que est un automorphisme de et que .
3)
4) On note et .

i) Montrer que . En déduire que est un espace vectoriel de dimension 2, et trouver une base de .
ii) Montrer que . En déduire que est un espace vectoriel de dimension 1, et trouver une base de .
iii) Montrer que , et justifier que est une base de .
iv) Donner la matrice de relative à la base ( c'est à dire ).

Voilà donc en ce qui me concerne:
1) je n'est pas réussi à le montrer, mais à mon avis il faut utiliser la question 1) de la partie 2...
2)3)4) je n'arrive forçément pas le reste... :triste:

si vous pouviez me débloquer au moins pour la première question ...

[nonam]

Pour la première question, il te suffit de vérifier que pour tout f dans E,
(ce n'est que du calcul). Et comme est inversible d'après la question 4 de la partie 2, tu peux conclure.

[Bourasland]

OK je vais essayer...

[Bourasland]

donc j'ai réussi à montrer que
est ce que ça suffit à montrer que ?
parce que la composition n'est pas forçément commutative .....

[nonam]

tu es sur d'avoir montré pour tout f de E ?
Car ce résultat est forcément faux puisque et que est une fonction...
edit : et même : n'existe pas ( à valeurs dans )

[Bourasland]

bon.... :briques:
mais je ne vois pas concrêtement ce qu'est .
?
et si oui je ne vois pas comment on fait la composition avec par exemple ....

[nonam]

Tu as : .
(puisque effectivement : )
Or . Il te reste à calculer et .
Puis à vérifier que (puisque .
As-tu compris ?

[Bourasland]

oui oui c'est justement ce que j'allais dire en réponse, je suis un peu long dsl... :triste:

[nonam]

ok, pas de souci. J'espère que tu t'en sors maintenant...

[Bourasland]

oui, je passe à la suite maintenant...

[Bourasland]

bon je m'y suis remis (je n'avais pas que des maths à faire ....) et je n'arrive pas à faire la question 2.
Je sais qu'un automorphisme est une application bijective qui va de E dans E, mais ici...?
est composée d'un isomorphisme de E sur ( ) et d'un endomorphisme de ( ).
que dois je faire ?

[nonam]

le plus simple est de montrer que est linéaire et injective (et donc que c'est elle-aussi un isomorphisme).
Du coup apparait comme composée d'isomorphismes : ce qui permet de conclure que c'en est un...

[Bourasland]

oui mais un automorphisme c'est un endomorphisme bijectif,

donc qu'est ce que ça a voir avec l'isomorphisme ?

[nonam]

un isomorphisme c'est un morphisme bijectif. Là seul chose qui reste à vérifier c'est le format : de E dans E.

[Bourasland]

oui, voilà
On est d'accord :we:

[Bourasland]

ba c'est bon en fait
est un automorphisme car il est bijectif et va de E dans mais non ?
car et donc .
D'où est un automorphisme.
Même chose pour .
C'est bon ?

[nonam]

Non, est un isomorphisme d'après la question 4), partie 2.
Mais tu n'as pas du tout E= ! L'un est un ensemble de fonctions, l'autre de triplets.
Comme composé d'isomorphisme, est un isomorphisme, et comme c'est un endomorphisme (de E dans E) : c'est bien un automorphisme.