Espace vectoriel et dimension finie

[pouik]

Bonsoir,
Je n'arrive à faire aucune question de ce petit exercice. Pourriez-vous m'aider ? Merci d'avance. :zen: :zen:

Soit un K-espace vectoriel de dimension finie. On rappelle que tout sous-espace admet un supplémentaire dans . L'Objectif de l'Exercice est de démontrer qu'étant donnés deux sous-espaces et de de même dimension, on peut toujours leur trouver un supplémentaire commun, i.e. un sous-espace de tel que, simultanément, et .

Retour au cas général... le Lemme-clé. Soient et deus sous-espaces de de même dimension, mais distincts.
(a) Montrer qu'on n'a ni , ni .
(b) Construire un vecteur de n'appartenant ni à , ni à .
(c) Que peut-on dire des sommes et ?

[fahr451]

bonsoir

a) si F inclus dans G alors puisque dim F = dim G on a F = G ce qui n'est pas

b)d'après a) il existe y dans F et pas dans G et il existe z dans G et pas dans F
on pose x = y +z si x était dans F on aurait z = x-y dans F ce qui n'est pas
idem xn'estpas dans G

c) les sommes sont directes
fin du lemme
je présume que le théorème souhaité s'en déduit par récurrence (décroissante) sur dim F = dim G

[pouik]

Merci, mais comment ferait-on pour justifier rapidement à la question (c) que les deux sommes sont directes ? :hum: :hum:

[Clembou]

Merci, mais comment ferait-on pour justifier rapidement à la question (c) que les deux sommes sont directes ? :hum: :hum:

Il faut montrer que et

[pouik]

donc ceci devrait vous combler :

MERCI MERCI à tous les deux !! :++: :++: