Pour rendre rigoureuse cette histoire de complétude, il faut faire intervenir la notion d'espace uniforme. C'est le contexte naturel pour parler de complétude, de suite de Cauchy, etc, et on a tous les résultats usuels, comme par exemple une partie complète est fermée.
Tout evt est naturellement muni d'une structure uniforme.
Comme F est isomorphe (en tant que evt) à R^n, c'est un espace uniforme complet. Il est donc fermé dans l'espace ambiant E.
C'est un peu succinct comme réponse si on est pas familier avec la notion d'espace uniforme ...
Une discussion plus ou moins liée :
Lien