Sous-espace vectoriel topologique de dimension finie

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
Judoboy
Membre Rationnel
Messages: 654
Enregistré le: 24 Fév 2012, 16:36

Sous-espace vectoriel topologique de dimension finie

par Judoboy » 12 Oct 2012, 22:09

Plop.

J'ai un exo, d'abord on montre que tout sous-espace vectoriel séparé de dimension n est homéomorphe à R^n (je l'ai fait sans problème mais c'est pour poser le contexte).

Dernière question, ils demandent de montrer que dans un espace vectoriel topologique séparé de dimension quelconque, tout sous-espace vectoriel de dimension finie est fermé.


J'ai envie de dire que si on a F un ss-ev de dimension finie et y adhérent à F, on a une suite de points de F qui tend vers y (au sens de la topologie induite).

Du coup on regarde le ss-ev F+R*y, là on utilise la caractérisation séquentielle (puisque F+R*y est de dim finie donc normable donc métrisable) qui nous assure que y appartient à F, du coup adh(F)=F, CQFD.

C'était la toute dernière question du problème du coup ça me paraît un peu facile ; je suis pas sûr de mon coup pour l'existence d'une suite qui tend vers F, mais si c'est bon je crois que ma démo tient la route. Je sens que soit c'est trivialement faux soit ça démontre en une ligne mais là j'ai le cerveau HS aidez-moi plz :D

EDIT : j'oubliais l'argument essentiel qui est que F est fermé dans F+R*y puisque F+R*y est de dim finie donc homéomorphe à R^n (ou n+1 selon que y appartient ou pas à F) et donc ses sous-espaces vectoriels sont fermés.



Luc
Membre Irrationnel
Messages: 1806
Enregistré le: 28 Jan 2006, 14:47

par Luc » 12 Oct 2012, 22:42

Judoboy a écrit:J'ai envie de dire que si on a F un ss-ev de dimension finie et y adhérent à F, on a une suite de points de F qui tend vers y (au sens de la topologie induite).


Pourquoi? ^^

J'ai une preuve dans le cadre des evn : soit (E,N) un evn (de dimension quelconque) et F un ss-ev de E de dimension finie. Alors (F,N|F) est complet. En effet, soit u de Cauchy dans (F,N|F). u est bornée donc à valeurs dans une boule fermée dans un evn de dimension finie, donc à valeur dans un compact (ceci utilise le fait qu'en dimension finie, les fermés bornés sont compacts). Donc u a au moins une valeur d'adhérence dans F(par Bolzano-Weierstrass), donc exactement une car elle est de Cauchy. Donc u converge dans (F,N|F).

Mais alors F est fermé dans E, car (F,N|F) est complet dans (E,N) : cela se montre par le raisonnement que tu as fait.

je te laisse adapter la preuve dans le cadre des ev topologiques.

Judoboy
Membre Rationnel
Messages: 654
Enregistré le: 24 Fév 2012, 16:36

par Judoboy » 13 Oct 2012, 00:07

Luc a écrit:Pourquoi? ^^


En effet c'est très faux vu qu'a priori il n'y a aucune raison pour que y ait une base dénombrable de voisinages.

J'ai repensé à ça en prenant mon bain et du coup j'ai un petit lemme à soumettre. Attention ces réflexions ont été menées dans un cadre peu propice à la recherche mathématique, il se peut que les vapeurs d'eau et la chaleur me soient quelque peu montées à la tête.

LEMME :

Si E est un espace topologique (quelconque), F une partie de E, x un élément de E et X une partie de E qui contient x, alors (x est adhérent à F dans E) si et seulement si (x est adhérent à F dans (F union X)).

Démo :

Il suffit de voir que les voisinages de x dans (F union X) sont les traces des voisinages de x dans E.

Donc si tout voisinage de x dans E rencontre F, tout voisinage de x dans (F union X) rencontre F, et donc x adhérent à F dans E implique x adhérent à F dans (F union X). La réciproque est évidente par inclusion.

QED (ou pas ?)


Donc voilà on applique ça à notre situation initiale, si y est est adhérent à F dans E alors y est adhérent à F dans (F + R*y) et alors y appartient à F parce qu'on connaît la topologie de F+R*y.

(ici la partie qui contient y c'est F+R*y et on prend l'adhérence dans (F union F+R*y = F+R*y par exemple).


C'est OK cette fois-ci ?

Judoboy
Membre Rationnel
Messages: 654
Enregistré le: 24 Fév 2012, 16:36

par Judoboy » 13 Oct 2012, 17:03

Up, j'aimerais finir ce problème :)

Ca marche ou j'ai trop fumé ?

Judoboy
Membre Rationnel
Messages: 654
Enregistré le: 24 Fév 2012, 16:36

par Judoboy » 13 Oct 2012, 17:42

Luc a écrit:Pourquoi? ^^

J'ai une preuve dans le cadre des evn : soit (E,N) un evn (de dimension quelconque) et F un ss-ev de E de dimension finie. Alors (F,N|F) est complet. En effet, soit u de Cauchy dans (F,N|F). u est bornée donc à valeurs dans une boule fermée dans un evn de dimension finie, donc à valeur dans un compact (ceci utilise le fait qu'en dimension finie, les fermés bornés sont compacts). Donc u a au moins une valeur d'adhérence dans F(par Bolzano-Weierstrass), donc exactement une car elle est de Cauchy. Donc u converge dans (F,N|F).

Mais alors F est fermé dans E, car (F,N|F) est complet dans (E,N) : cela se montre par le raisonnement que tu as fait.

je te laisse adapter la preuve dans le cadre des ev topologiques.

D'ailleurs je suis pas sûr qu'on puisse adapter cette démonstration aux espaces vectoriels topologiques parce que ça fait appel à la caractérisation séquentielle des fermés dans E non ?

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 13 Oct 2012, 18:01

Moi, il y a un truc qui me chiffonne : Si je muni n'importe quel ev de la topologie grossière, ça devient un ev topologique (car ses lois sont continues). Mais pour la topologie grossière aucune sous-partie propre n'est fermée, en particulier aucun sev de dimension finie ne l'est.

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 13 Oct 2012, 18:05

Bon, j'allais rajouter que ce contre-exemple ne marche pas dans les evn car la topologie grossière ne découle pas d'une norme, mais en l'écrivant j'ai réalisé qu'elle ne donnait pas non plus un espace séparé, donc ça ne convient pas pour notre problème.

C'est peut être vrai du coup avec la condition séparé.

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 13 Oct 2012, 18:20

Je reviens à la charge avec un contre exemple séparé :

On considère une extension algébrique simple de Q de dimension finie (Par exemple Q(V(2)) ). C'est un espace vectoriel sur Q de dimension 2 qui munit de la topologie induite de l'usuelle de R est un espace vectoriel topologique.

Q en est un sev de dimension finie (c'est une droite vectorielle) mais n'est pas du tout fermé dans Q(V(2)).

Judoboy
Membre Rationnel
Messages: 654
Enregistré le: 24 Fév 2012, 16:36

par Judoboy » 13 Oct 2012, 18:21

Oui on suppose partout qu'on a un EVT séparé et c'est hyper important dans tout le problème (y compris pour la fin je pense).

J'en avais discuté avec mon prof et la plupart des conclusions du problème sont fausses si on ne suppose pas la topologie séparée.

Judoboy
Membre Rationnel
Messages: 654
Enregistré le: 24 Fév 2012, 16:36

par Judoboy » 13 Oct 2012, 18:23

Nightmare a écrit:Je reviens à la charge avec un contre exemple séparé :

On considère une extension algébrique simple de Q de dimension finie (Par exemple Q(V(2)) ). C'est un espace vectoriel sur Q de dimension 2 qui munit de la topologie induite de l'usuelle de R est un espace vectoriel topologique.

Q en est un sev de dimension finie (c'est une droite vectorielle) mais n'est pas du tout fermé dans Q(V(2)).

En fait j'ai pas précisé mais on suppose que E est un espace vectoriel sur R (qui est complet).

Sinon évidemment la première partie du problème qui montre qu'un espace vect de dim finie est homéomorphe à R^n sera fausse.

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 13 Oct 2012, 18:28

Dans ce cas, si E est homéomorphe à R^n, c'est donc que sa topologie est normable et on retombe sur le théorème dans le cas des espaces vectoriels normés.

Judoboy
Membre Rationnel
Messages: 654
Enregistré le: 24 Fév 2012, 16:36

par Judoboy » 13 Oct 2012, 18:32

Nan, E est de dimension quelconque, on a juste montré qu'un ev de dim finie est homéomorphe à R^n.

Je veux montrer qu'un sous-ev de E de dim finie (le sous-ev, pas E) est fermé, je me sers du fait que les sous-ev sont homéomorphes à un R^n.


En fait mon E même de dim quelconque doit être normable je pense en prenant une famille séparante de semi-normes construites avec les fonctionnelles de Minkowski associées aux voisinages des sous-ev de dim finie (ou peut-être pas, j'ai l'impression qu'il faut que la dimension de E soit dénombrable).

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 13 Oct 2012, 18:37

Mon E était le sev de dimension finie en question, mais tu as raison, ça ne suffit pas de dire qu'il est normé.

Par contre, si notre sev est homéomorphe à un certain R^n, la seule topologie qui munit R^n d'une structure d'espace vectoriel topologique est celle de la norme, donc notre sev est complet donc fermé.

Judoboy
Membre Rationnel
Messages: 654
Enregistré le: 24 Fév 2012, 16:36

par Judoboy » 13 Oct 2012, 18:40

Nightmare a écrit:Par contre, si notre sev est homéomorphe à un certain R^n, la seule topologie qui munit R^n d'une structure d'espace vectoriel topologique est celle de la norme, donc notre sev est complet donc fermé.

Fermé dans quoi ?

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 13 Oct 2012, 18:43

Ben dans l'evt ambiant.

Judoboy
Membre Rationnel
Messages: 654
Enregistré le: 24 Fév 2012, 16:36

par Judoboy » 13 Oct 2012, 18:45

Nightmare a écrit:Ben dans l'evt ambiant.

Même si l'EVT ambiant n'est pas normable ?

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 13 Oct 2012, 18:53

Oui oui, ça ne joue pas.

En fait ce qui joue n'est pas vraiment le fait que le sev soit normé, on a pas besoin d'en parler.

Je réécris la preuve proprement :

1) F, sev de dimension finie de E, est homéomorphe à R^n pour n=dim(F)

2) La topologie trace sur F est exactement la topologie usuelle de R^n.

3) (F,T) est homéomorphe à (R^n,T) et (R^n,T) est complet donc (F,T) est complet donc fermé dans E.

Edit : En fait, c'est le point 2) qui est un peu délicat, ça sous-entend qu'il n'existe qu'une seule topologie séparé rendant topologique un espace vectoriel F de dimension finie sur R, qui est la topologie de la norme de R^dim(F)

Judoboy
Membre Rationnel
Messages: 654
Enregistré le: 24 Fév 2012, 16:36

par Judoboy » 13 Oct 2012, 18:59

Nightmare a écrit:Oui oui, ça ne joue pas.

En fait ce qui joue n'est pas vraiment le fait que le sev soit normé, on a pas besoin d'en parler.

Je réécris la preuve proprement :

1) F, sev de dimension finie de E, est homéomorphe à R^n pour n=dim(F)

2) La topologie trace sur F est exactement la topologie usuelle de R^n.

3) (F,T) est homéomorphe à (R^n,T) et (R^n,T) est complet donc (F,T) est complet donc fermé dans E.

Edit : En fait, c'est le point 2) qui est un peu délicat, ça sous-entend qu'il n'existe qu'une seule topologie séparé rendant topologique un espace vectoriel F de dimension finie sur R, qui est la topologie de la norme de R^dim(F)

Le point 2) on l'a montré dans le problème juste avant, c'était pas spécialement élégant et assez long donc j'ai pas posté ce que j'ai fait.
Le point 3) ne me semble pas évident du tout, j'arrive pas à voir l'implication F complet => F fermé dans E.

On ne peut pas utiliser la caractérisation séquentielle dans E...

Nightmare
Membre Légendaire
Messages: 13817
Enregistré le: 19 Juil 2005, 19:30

par Nightmare » 13 Oct 2012, 19:11

Etre complet implique toujours d'être fermé. On a juste besoin de la caractérisation séquentielle dans F, et on peut l'utiliser car F est métrisable (car normable).

Donc en fait si, on a quand même besoin de dire que c'est normable.

Judoboy
Membre Rationnel
Messages: 654
Enregistré le: 24 Fév 2012, 16:36

par Judoboy » 13 Oct 2012, 19:15

Nightmare a écrit:Etre complet implique toujours d'être fermé. On a juste besoin de la caractérisation séquentielle dans F, et on peut l'utiliser car F est métrisable (car normable).

Donc en fait si, on a quand même besoin de dire que c'est normable.

Ca veut dire que je peux plonger un espace complet dans n'importe quoi il sera toujours fermé ?

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 26 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite