Théorème du rang en dimension infinie ?

par **Gnörf** » 29 Sep 2007, 21:05

Bonsoir à tous,
Désolé de poser une question comme ça mais le théorème du rang pourrait-il s'énoncer en dimension infinie ? Et si oui quel en est la bonne version ? (je n'arrive vraiment pas à trouver)
Merci !

par **quinto** » 29 Sep 2007, 21:10

Bonjour,
le théorème du rang n'est-il pas un corollaire du premier théorème d'isomorphisme ?

par **Gnörf** » 29 Sep 2007, 21:12

Euh ... j'ai un peu de mal à comprendre ces symboles. Est-ce que cela signifie que

est isomorphe a tout supplémentaire de

. ?

par **abcd22** » 29 Sep 2007, 21:34

On peut comprendre ça comme ça (le quotient E/F d'un espace vectoriel par un sous-espace vectoriel est isomorphe à tout supplémentaire de F dans E), sauf qu'en dimension infinie pour prouver l'existence de supplémentaires il faut utiliser l'axiome du choix, c'est moins évident qu'en dimension finie, et la démonstration de

est plus intrinsèque que

un supplémentaire de ker(f) car elle ne dépend pas du choix d'un supplémentaire particulier.

par **Gnörf** » 29 Sep 2007, 22:01

Hum, en utilisant ce résultat je tombe sur une propriété qui me semble absolument fausse :

Je considère

un

ev, de dimension infinie. Soit

un endomorphisme injectif de

. On a

.
Le théorème du rang s'énonce :

est isomorphe à tout supplémentaire de

. Or on a

, Donc il existe un isomorphisme

entre

et

.

On a puisque

un endomorphisme :

Soit

,

donc

or

Donc

, donc

surjectif, donc

bijectif !!!!
Cherchez l'erreur !

par **fahr451** » 29 Sep 2007, 22:13

Gnörf a écrit:Hum, en utilisant ce résultat je tombe sur une propriété qui me semble absolument fausse :

donc Cherchez l'erreur !

bonsoir elle est là

par **abcd22** » 29 Sep 2007, 22:26

Gnörf a écrit:Je considère un ev, de dimension infinie. Soit un endomorphisme injectif de . On a .
Le théorème du rang s'énonce : est isomorphe à tout supplémentaire de . Or on a , Donc il existe un isomorphisme entre et .

C'est

: on l'a supposé injectif et on a restreint l'espace d'arrivée pour qu'il soit surjectif.

par **Gnörf** » 29 Sep 2007, 23:23

Euh, je ne vois plus très bien ...
si

, on a pas

?
De plus je ne vois pas où j'ai restreint l'espace d'arrivée car il s'agit de

, qui est l'ev lui même.
Désolé j'ai vraiment du mal a visualiser mon erreur !

par **fahr451** » 29 Sep 2007, 23:26

Gnörf a écrit:Soit ,

[!

avec ceci psi semble aller de E dans Im phi

et non l'inverse...

tu ne peux avoir les deux

par **Gnörf** » 29 Sep 2007, 23:34

va bien de

dans

. C'est l'application inverse qui va de

dans

(ou alors j'ai vraiment rien compris ! :marteau: )

par **fahr451** » 30 Sep 2007, 00:00

si psi va de E dans Im phi

psi ^(-1) de Im phi dans E

et psi^(-1) (y) n a aucune raison d'être dans Im phi
cf mon premier message

par **Gnörf** » 30 Sep 2007, 00:41

Okay ! Merci !!!

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