Dualité en dimension infinie
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angel_demitri
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par angel_demitri » 30 Jan 2009, 15:41
bonjour,
je voudrais savoir comment démontrer qu'en dimension infinie, la famille (ei*) n'est pas génératrice.
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Nightmare
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par Nightmare » 30 Jan 2009, 16:07
Bonjour,
Si j'ai bien compris, ce peut être vrai, comme dans un espace réflexif par exemple. Cependant c'est faux pour beaucoup d'espace de dimension infinie, on a plus d'isomorphisme entre l'espace et son dual. On peut par exemple aller chercher l'espace des fonctions et les distributions.
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Lemniscate
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par Lemniscate » 30 Jan 2009, 17:27
Si on prend
, c'est un ev réel de dim infini.
Si tu défini les formes linéaires
comme :
où
si
et 0 sinon, tu définis bien une génératrice du dual
! et même une base (puisqu'il y a unicité des coeffs) du dual !
Si j'ai fais une erreur, merci de me prévenir, mais je pense qu'il faut d'autres hypothèse supplémentaires pour conclure à ton résultat.
Bye
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abcd22
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par abcd22 » 30 Jan 2009, 17:30
Bonjour,
La famille des ei* (avec (ei) famille libre génératrice de l'espace vectoriel) n'est jamais génératrice de l'ensemble des formes linéaires (pas forcément continues) sur un espace de dimension infinie car la forme définie par f(e_i) = 1 pour tout i n'est pas combinaison linéaire de e_i* (une combinaison linéaire étant finie par définition). Si on prend le dual topologique au lieu du dual tout court ça peut marcher dans certains cas.
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Lemniscate
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par Lemniscate » 30 Jan 2009, 17:38
Ok merci abc pour tes précisions... J'y avais pas pensé en fait !
Mais alors me vient une autre question : à ce moment la famille des
ne serait pas génératrice des polynômes à coeffs réels ? Il est vrai qu'un polynôme est défini par une suite
finie de coeffs, mais pourquoi impose-t-on cette condition ?
En tout cas si on l'impose au dual, les
devient une famille génératrice !
Bye
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Antho07
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par Antho07 » 30 Jan 2009, 17:39
abcd22 a écrit: car la forme définie par f(e_i) = 1 pour tout i n'est pas combinaison linéaire de e_i* (une combinaison linéaire étant finie par définition).
avec ce que dit abcd22, tu devrais t'en sortir mais pour t'aider à démarrer
Tu prends
une base de ton espace vectoriel et
la famille duale associée.
Tu suppose alors que ta famille duale est une base
Ensuite , tu défini la forme linéaire que propose abcd22, elle est donc combinaison linéaire fini des vecteur de ta base duale.
Trouve un moyen d'arriver à une contradiction (qui sera 1=0)
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yos
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par yos » 30 Jan 2009, 18:28
Lemniscate a écrit:Il est vrai qu'un polynôme est défini par une suite finie de coeffs, mais pourquoi impose-t-on cette condition ?
Sinon c'est plus des polynômes, mais des séries formelles. C'est moins sympathique (ou plus selon le point de vue).
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ThSQ
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par ThSQ » 31 Jan 2009, 14:45
L'origine du pb est générale :
En dim infinie le dual algébrique est toujours de dimension strictement plus grande
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leon1789
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par leon1789 » 31 Jan 2009, 20:45
Antho07 a écrit:Tu suppose alors que ta famille duale est une base
Ensuite , tu défini la forme linéaire que propose abcd22, elle est donc combinaison linéaire fini des vecteur de ta base duale.
Trouve un moyen d'arriver à une contradiction (qui sera 1=0)
Pas la peine de faire un raisonnement par l'absurde pour si peu !
Une combinaison linéaire C des e*_i est une somme finie donc
Or f(e_k) = 1 (où f est l'exemple de abcd22) donc
--> f ne peut pas être un élément de Vect( e*_i)
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Doraki
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par Doraki » 31 Jan 2009, 21:00
Pas la peine de faire un raisonnement par l'absurde pour si peu !
la famille (f,ei*) est libre :
Soit C = a.f + somme de ai.ei* telle que C = 0,
La famille (ai) a un nombre fini de valeurs non nulles, donc soit n tel que an = 0.
On a donc C(en) = a + an = a, donc a=0.
Et puis pour tout i, C(ei) = a + ai = ai, donc ai=0.
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leon1789
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par leon1789 » 31 Jan 2009, 21:09
Doraki a écrit:Pas la peine de faire un raisonnement par l'absurde pour si peu !
la famille (f,ei*) est libre :
Soit C = a.f + somme de ai.ei* telle que C = 0,
La famille (ai) a un nombre fini de valeurs non nulles, donc soit n tel que an = 0.
On a donc C(en) = a + an = a, donc a=0.
Et puis pour tout i, C(ei) = a + ai = ai, donc ai=0.
ha oui ! :++:
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ThSQ
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par ThSQ » 31 Jan 2009, 21:11
'tin ça a l'air contagieux en plus ! :dingue2: :dingue:
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leon1789
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par leon1789 » 31 Jan 2009, 21:28
ThSQ a écrit:'tin ça a l'air contagieux en plus ! :dingue2: :dingue:
:ptdr:
Mon rêve : un monde mathématique où on dirait pourquoi les choses sont vraies, au lieu de tourner autour du pot et dire pourquoi le contraire est faux.
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ThSQ
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par ThSQ » 31 Jan 2009, 21:42
J'ai pas le courage de lire toutes vos discussions sur futura (d'autant plus ça prend souvent un ton déplorable ...) mais "admets-tu" le tiers-exclus Léon ?
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angel_demitri
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par angel_demitri » 31 Jan 2009, 22:04
leon1789 a écrit:Pas la peine de faire un raisonnement par l'absurde pour si peu !
Une combinaison linéaire C des e*_i est une somme finie donc
Or f(e_k) = 1 (où f est l'exemple de abcd22) donc
--> f ne peut pas être un élément de Vect( e*_i)
j'ai plutot pensé que ce raisonnement étais par l'absurde.
je pose f = 1 pour tout i
en supposant que (e*_i) est une base, alors (e*_i) est génératrice
donc f s'ecrit comme une CL fini d'élément e*_i. I étant infini, je prends J inclu dans I,et fini, alors f est CL d'éléments de J
ensuite je prend k>Sup J , dans ce cas f(e_k) = 0 c-a-d 1=0 et donc absurdité.
ai-je tout faux?
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leon1789
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par leon1789 » 31 Jan 2009, 22:12
ThSQ a écrit:J'ai pas le courage de lire toutes vos discussions sur futura (d'autant plus ça prend souvent un ton déplorable ...)
Je n'y mets pas une bonne volonté c'est vrai, mais les autres non plus ! Alors bon, pas la peine d'y aller des pincettes...
(il y a règne surtout un effet "meute" assez désagréable)
ThSQ a écrit: mais "admets-tu" le tiers-exclus Léon ?
... Un vrai mathématicien n'admet rien, il démontre tout en utilisant des axiomes et des inférences... :ptdr:
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leon1789
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par leon1789 » 31 Jan 2009, 22:15
angel_demitri a écrit:(..) I étant infini, je prends J inclu dans I,et fini, alors f est CL d'éléments de J (...)
Là c'est mal rédigé avec le mot "alors"
-> il existe une partie finie J incluse dans I telle que f est CL d'éléments de J
angel_demitri a écrit:ai-je tout faux?
Ta preuve est correcte.
Mais tu as l'esprit de contradiction, c'est tout ...
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angel_demitri
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par angel_demitri » 31 Jan 2009, 22:25
j'ai plutot pensé que ce raisonnement étais par l'absurde.
je pose f = 1 pour tout i
en supposant que (e*_i) est une base, alors (e*_i) est génératrice
donc f s'ecrit comme une CL fini d'élément e*_i. I étant infini, je prends J inclu dans I,et fini, alors f est CL d'éléments de J
ensuite je prend k>Sup J , dans ce cas f(e_k) = 0 c-a-d 1=0 et donc absurdité.
ai-je tout faux?
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ThSQ
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par ThSQ » 31 Jan 2009, 22:29
leon1789 a écrit:... Un vrai mathématicien n'admet rien, il démontre tout en utilisant des axiomes et des inférences... :ptdr:
Oui bon, tu avais compris mais c'est ta façon d'éluder les questions :hey: :+++:
Sinon tu l'utilises ou pas ?
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leon1789
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par leon1789 » 31 Jan 2009, 23:09
En "vraie réalité", ça dépend du résultat et de la preuve... (MP)
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