Théorème du rang en dimension infinie ?
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Gnörf
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par Gnörf » 29 Sep 2007, 22:05
Bonsoir à tous,
Désolé de poser une question comme ça mais le théorème du rang pourrait-il s'énoncer en dimension infinie ? Et si oui quel en est la bonne version ? (je n'arrive vraiment pas à trouver)
Merci !
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quinto
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par quinto » 29 Sep 2007, 22:10
Bonjour,
le théorème du rang n'est-il pas un corollaire du premier théorème d'isomorphisme ?
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Gnörf
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par Gnörf » 29 Sep 2007, 22:12
Euh ... j'ai un peu de mal à comprendre ces symboles. Est-ce que cela signifie que
est isomorphe a tout supplémentaire de
. ?
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abcd22
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par abcd22 » 29 Sep 2007, 22:34
On peut comprendre ça comme ça (le quotient E/F d'un espace vectoriel par un sous-espace vectoriel est isomorphe à tout supplémentaire de F dans E), sauf qu'en dimension infinie pour prouver l'existence de supplémentaires il faut utiliser l'axiome du choix, c'est moins évident qu'en dimension finie, et la démonstration de
est plus intrinsèque que
un supplémentaire de ker(f) car elle ne dépend pas du choix d'un supplémentaire particulier.
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Gnörf
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par Gnörf » 29 Sep 2007, 23:01
Hum, en utilisant ce résultat je tombe sur une propriété qui me semble absolument fausse :
Je considère
un
ev, de dimension infinie. Soit
un endomorphisme injectif de
. On a
.
Le théorème du rang s'énonce :
est isomorphe à tout supplémentaire de
. Or on a
, Donc il existe un isomorphisme
entre
et
.
On a puisque
un endomorphisme :
Soit
,
donc
or
Donc
Donc
, donc
surjectif, donc
bijectif !!!!
Cherchez l'erreur !
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fahr451
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par fahr451 » 29 Sep 2007, 23:13
Gnörf a écrit:Hum, en utilisant ce résultat je tombe sur une propriété qui me semble absolument fausse :
donc
Cherchez l'erreur !
bonsoir elle est là
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abcd22
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par abcd22 » 29 Sep 2007, 23:26
Gnörf a écrit:Je considère
un
ev, de dimension infinie. Soit
un endomorphisme injectif de
. On a
.
Le théorème du rang s'énonce :
est isomorphe à tout supplémentaire de
. Or on a
, Donc il existe un isomorphisme
entre
et
.
C'est
: on l'a supposé injectif et on a restreint l'espace d'arrivée pour qu'il soit surjectif.
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Gnörf
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par Gnörf » 30 Sep 2007, 00:23
Euh, je ne vois plus très bien ...
si
, on a pas
?
De plus je ne vois pas où j'ai restreint l'espace d'arrivée car il s'agit de
, qui est l'ev lui même.
Désolé j'ai vraiment du mal a visualiser mon erreur !
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fahr451
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par fahr451 » 30 Sep 2007, 00:26
Gnörf a écrit:Soit
,
[!
avec ceci psi semble aller de E dans Im phi
et non l'inverse...
tu ne peux avoir les deux
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Gnörf
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par Gnörf » 30 Sep 2007, 00:34
va bien de
dans
. C'est l'application inverse qui va de
dans
(ou alors j'ai vraiment rien compris ! :marteau: )
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fahr451
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par fahr451 » 30 Sep 2007, 01:00
si psi va de E dans Im phi
psi ^(-1) de Im phi dans E
et psi^(-1) (y) n a aucune raison d'être dans Im phi
cf mon premier message
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Gnörf
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par Gnörf » 30 Sep 2007, 01:41
Okay ! Merci !!!
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