Ev de dimension infinie et polynome minimal

[waddle30]

salut à tous.
Comment montre t-on que :
1)pour un ev de dimension infinie et f dans L(E) ayant un polynôme min p non nul on a:
f injective ssi f surjective ssi f bijective

2)si dim Im(f)=n f a un polynôme minimal
merci par avance :lol3:

[leon1789]

salut à tous.
Comment montre t-on que :
1)pour un ev de dimension infinie et f dans L(E) ayant un polynôme min p non nul on a:
f injective ssi f surjective ssi f bijective

p(f) = 0
poser p = x^d + ... + a_1 x + a_0 et écrire

Est-ce que a_0 peut être nul lorsque f est injective ou surjective ?

2)si dim Im(f)=n f a un polynôme minimal
merci par avance :lol3:

quelle est la dimension de L(E) ?
considérer Id, f, f^2, ... f^(n^2) et conclure.

[waddle30]

p(f) = 0 poser p = x^d + ... + a_1 x + a_0 et écrire (f^{d-1} + ... + a_1) o f = f^d + ... + a_1 f = - a_0 Id = f o (f^{d-1} + ... + a_1) Est-ce que a_0 peut être nul lorsque f est injective ou surjective ?

si a0=0 alors l'espace propre liée à la valeur 0 (qui est le kef n'est plus {0} ) donc pas injectif
pour la surjectivité je ne vois pas

quelle est la dimension de L(E) ?
considérer Id, f, f^2, ... f^(n^2) et conclure.

dim(L(E))=n²
Id, f, f^2, ... f^(n^2) est liée
donc il existe (l1........ln^2) non tous nul ect....
j'ai compris pour celui merci beaucoup

[waddle30]

s'il te plait c'est urgent j'ai partiel à 14h30 :triste: