Théorème de Cayley

[nadia]

Bonjour,
je n'arrive pas à voir la piste à suivre pour répondre à la question suivante:
quel est le plus petit entier naturel n tel que Sn contient un sous-groupe isomorphe à chacun des groupes suivants, puis déterminer ces sous-groupes .
1) C2xC2xC2
2) D10
3) S3xS3
Merci d'avance.

[lyceen95]

Sous groupe, isomorphe, Cayley, j'ai complètement oublié ce que tout ça veut dire.
Mais ce que je comprends, c'est qu'on nous demande :
quel est le plus petit entier supérieur ou égal à :
2x2x2
10
3x3
Et donc la réponse est : ....
Reste à bâtir les 3 sous-groupes.

[GaBuZoMeu]

Non.
Par exemple, le premier groupe se plonge dans . et je crois me souvenir que .
Je n'en dis pas plus : je laisse trouver le plongement, et un argument qui établit qu'on ne peut pas faire plus petit que 6.

[nadia]

J'ai essayé de montrer que dans les sous-groupes de Sn qui sont isomorphes à C2xC2xC2 , chaque élément doit avoir 2 pour ordre , ce qui n'est pas le cas pour les sous-groupes de S4 , ni de S5, mais je ne vois pas une démonstration claire, c'est juste intuitif, par contre pour S6 j'en ai trouvé un.
pourriez-vous m'aider plus?

[GaBuZoMeu]

Il y a un moyen : chercher à quoi ressemblent les sous-groupes d'ordre 8 de et .
Tu connais les théorèmes de Sylow ? Ce sont des 2-Sylow dans ces groupes. Donc si tu attrapes un sous-groupe d'ordre 8 de , tu sais à quoi ressemblent tous les sous-groupes d'ordre 8 de et .

[GaBuZoMeu]

Le plus facile, finalement, c'est le 3 : trouver le plus petit tel que contient un sous-groupe isomorphe à .
Les autres se traitent bien, mais avec des arguments un peu plus subtils.