P(X_n>n) tend vers 1 donc P(Xn tend vers +inf) = 1?

[acteon]

Bonjour,
Dans un exercice, j'obtiens que la limite de P(X_n>n) est 1
((X_n) est une suite de variables aléatoires à valeurs dans N).
Je me demande si on peut conclure que la probabilité que X_n tend vers + infini vaut 1.
ça me paraît intuitif mais je ne vois pas comment le prouver précisément.
En effet (Xn tend vers +inf) ne s'exprime pas en fonction de X_n >n , le n étant "fixé" dans "X_n >n".
Est-ce que quelqu'un a une idée? a moins que ma conjecture soit fausse sans davantage d'hypothèses?
Merci et bonne journée

[lyceen95]

Il faudrait un énoncé clair /précis.

Mais je pense que tu as donné le bon argument : n étant fixé , ça ne va pas.

[acteon]

Merci pour ta réponse, X_n est la somme de VA independantes et identiquement distribuées de type Rademacher (à valeurs dans {-1,1}) et on obtient que si la loi n'est pas uniforme, par exemple pour P(Y_k=1)=p>1/2, alors P(X_n> f(n)) tend vers 1 ou f(n)=(2p-1-eps)*n avec eps>0 fixé. (par loi faible des grands nombres
Intutivement on voudrait dire que X_n tend vers +infini, mais je ne sais pas vraiment comment le montrer.
En revenant au petit w pour écrire bien l'évènement X_n(w) tend vers +infini, mais ça ne donne pas grand chose.
C'est un peu la différence loi faible/loi forte il me semble. Mais bon sinon dans l'idéal serait un contre-exemple

[tournesol]

J'aimerais t'aider mais je ne sais plus le faire.
Étant donné une suite de va (Xn,En) , la suite (Xn) est aussi une va sur Pi des En muni de la probabilité conjointe.
Ça je sais.
Donc parmi les valeurs prises par (Xn) ou encore les réalisations de (Xn), certaines sont des suites qui tendent vers +l'infini. Leur ensemble est un évènement dont tu supposes et aimerais démontrer que sa propa est égale à 1 compte tenu de l'énoncé.
Ce que je ne sais plus faire, c'est exprimer cet évènement en termes d'intersections et d'union,ie dans la tribu engendrée par (Xn) sur Pi des En.
Au secours les Pros!!!!!!!

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

C'est une application assez immédiate de la loi forte des grands nombres.
Que dit-elle pour la suite de variables aléatoires ?

[tournesol]

Bonsoir,
Mon pb ne fait référence qu'au premier message d'actéon ie
Si lim p(Xn>n) =1 , alors p(lim Xn=+) =1

[GaBuZoMeu]

Je répondais à la question d'acteon, pour les de son exercice.

[tournesol]

Bonjour GaBuZoMeu,
Pourrais tu avoir l'amabilité de m'aider pour:
"Ce que je ne sais plus faire, c'est exprimer cet évènement en termes d'intersections et d'union,ie dans la tribu engendrée par (Xn) sur Pi des En."
(dans mon premier message).

[GaBuZoMeu]

Bonjour tournesol,
Tu écris, avec des quantifications sur les entiers, la formule qui dit que la suite tend vers et tu transformes les quantifications existentielles en réunion et les quantifications universelles en intersection.

Mais on peut très bien avoir et en même temps .
Indice pour un exemple : travailler sur avec la mesure de probabilité uniforme et une suite de variables aléatoires sur cet espace probabilisé telles que et .

[tournesol]

Tout d'abord merci.
Si je te demandes de l'aide, c'est parceque j'ai essayé de faire exactement ce que tu me demandes de faire dans la première partie de ton message .
Quand aux exemples j'avais l'intension de travailler sur :
et pour k>n

[GaBuZoMeu]

C'est pourtant simple :

devient


Tu te compliques beaucoup la vie pour l'exemple (et je parie que tu n'aboutiras pas avec ce que tu proposes), mais tu fais comme tu veux !

[tournesol]

Merci à toi et bonnes fêtes de fin d'année.

[GaBuZoMeu]

Ne laissons pas ce fil terminer en queue de poisson.

Soit donc avec la mesure de probabilité uniforme.
Pour tout entier , soit la variable aléatoire sur définie par si est la partie fractionnaire d'un réel de (où est le nombre harmonique d'indice ), et sinon.
On a alors , quantité qui tend vers 1 quand tend vers l'infini.
Par contre, pour tout , il existe une infinité d'entiers tels que puisque la série harmonique diverge. Donc l'ensemble des tels que la suite tende vers quand tend vers l'infini est vide. Par conséquent, .
Morale : se méfier de ce qui semble intuitif !
Bon réveillon !

[GaBuZoMeu]

Pour les de l'énoncé d'Acteon, la loi forte des grands nombres montre que la suite converge presque sûrement vers (puisque converge presque sûrement vers , l'espérance de ).

[tournesol]

Merci pour ce joli contre exemple .
Bonne et heureuse année 2023.