F+f' tend vers l alors f tend vers l

[math71]

Bonjour,
Soit f de R dans R dérivable telle que f+f' tende vers en . Montrer que f tend vers en
indication: on pourra commencer par le cas .
J'ai essayé d'utiliser la définition de la limite, mais je ne vois pas où cela me mène...
soit
Merci pour une idée pour démarrer mon raisonnement...

[Ben314]

Salut,
Tu connais un peu la théorie des équation différentielles ?

[math71]

Merci déjà d'essayer de m'aider.
Je sais ce qu'on a fait au lycée.
Donc je sais résoudre l'équation y'+y=0
J'avais commencé par ça, mais vu que c'est juste la limite qui fait 0...
reprenons:
les solutions de l'ED y'+y=o sont les fonctions f définies par f(x)=
Que peut-on en faire par rapport à mon énoncé?

[Ben314]

Vu ton hypothèse, je poserais bien vu que c'est plutôt elle qui est "connue".
Si on regarde ça comme une équation différentielle, l'équation homogène associée a pour solution les fonctions avec et la méthode de variation de la constante conduit à poser ce qui donne .

Et arrivé à ce point là, en utilisant la définition avec des du fait que , tu peut encadrer l'intégrale et en déduire le résultat voulu.

P.S. 1 : Le fait de connaitre (un peu) les équations différentielles, le seul endroit où c'est utile ici, c'est pour expliquer pourquoi il est judicieux de poser , c'est tout.

P.S. 2 : C'est sans doute pas la méthode attendu vu qu'avec ce point de vue là, le cas n'est pas différent du cas quelconque . . .

[math71]

Merci, je pense avoir réussi, mais n'arrive pas à joindre mon brouillon (trop fastidieux à reproduire vu mon niveau en latex...) Bon dimanche!

[Ben314]

En fait, je viens de (re)regarder tes hypothèses où il est seulement supposé que est dérivable et pas plus. Donc on ne peut pas procéder comme je l'ai fait dans le précédent post. vu qu'on ne sait pas si est suffisamment régulière pour être intégrable et bien sûr on sait encore moins si l'intégrale indéfinie de donne bien .

Bref, une fois quon a posé et , on peut effectivement affirmer que est dérivable (car l'est) et que , mais on ne peut pas intégrer pour retrouver donc il faut se contenter de ça et on peut uniquement utiliser le T.V.I. pour faire des déductions concernant partant de (le T.V.I. ne demande lui aucune régularité de la dérivée).

Mais, bon, ça change pas grand chose au principe vu que, uniquement avec le T.V.I., on peut montrer que, si et sont dérivables sur avec pour tout alors .
Le seul truc, c'est qu'il faut pas dire que c'est à l'aide d'une intégration qu'on fait la déduction . . .

[aviateur]

Donc on ne peut pas procéder comme je l'ai fait dans le précédent post. vu qu'on ne sait pas si est suffisamment régulière pour être intégrable.

Bonjour, Il a un truc qui m'échappe:
je crois que tu as:

On sait que f et f' sont intégrables sur tout segment, [a,b] (i.e a un sens)on multiplie par l'exponentielle ça ne change rien concernant l'intégrabilité de (i.e a un sens) à mon avis?
Certes sur f' on ne sait rien concernant la régularité, sauf que f' c'est tout de même la dérivée de f.

[Ben314]

Vu que est continue (car dérivable), elle est forcément intégrable, mais par contre il n'y a pas de raison que soit intégrable.
Par contre (et sauf erreur), si tu suppose que est intégrable (au sens de Lebesgue) alors tu as bien .

[aviateur]

Bon d'accord c'est pas une hypothèse sur f'. Donc il faut bien faire attention.

[Ben314]

En fait je viens d'aller vérifier un truc dont j’étais pas trop sûr :
Si tu utilise la notion d'intégrale au sens de Kurzweil-Henstock (KH-intégrale) alors là, effectivement la dérivée de n'importe quelle fonction dérivable (partout) va être localement intégrable et on a systématiquement .

[aviateur]

ça veut donc dire qu'on peut écrire pour tout x :

Où h=f+f' avec aucune hypothèse sur f'.

[Ben314]

Oui, on peut, mais.... il faut préciser que c'est une KH-intégrale... (donc savoir que ça existe et ce que c'est . . .)

[math71]

Bonjour à tous les 2,
donc, en tant qu'élève de MPSI début d'année (enfin 1 trimestre...) avec la seule définition d'intégrale vue en terminale, je dois trouver une autre méthode?

[aviateur]

Oui bien sûr. Ensuite je pense que ça doit résister: si on suppose que h tend vers 0, on fixe a assez grand de sorte que |h| soit bornée sur [a,\infty[ par M et considère b>a tel que |h(x)|<\epsilon pour x>b. On coupe l'intégrale en 2,

La première en valeur absolue est + petite que e^{b-x} et la deuxième est plus petite que \epsilon.
Pour x assez grand on rend la première majoration inférieur à \epsilon.

Sauf que j'ai utilisé qui je suppose reste vraie pour cette intégrale ?? ( M est majorant de h sur ([a,b]).
Ceci étant dit pour celui qui pose la question, il ne peut pas faire une démo comme ça s'en faire une hypothèse supplémentaire.

[aviateur]

Bonjour à tous les 2,
donc, en tant qu'élève de MPSI début d'année (enfin 1 trimestre...) avec la seule définition d'intégrale vue en terminale, je dois trouver une autre méthode?

Personnellement je ne vois d'autre démonstration. D'ailleurs tu le vois bien, dés que tu écris la définition de la limite de f+f' vers 0. On avance plus. Grosso-modo l'idée c'est d'exprimer f sous la forme d'une intégrale qui fait intervenir h=f+f'. Et après on s'en sort très bien.
Sauf que qu'en tu as une équa-diff de la forme f(x)+f'(x)=h(x) ,
la solution générale c'est
où j'ai posé Mais tout le problème est là : Pour qu'elle fonction h cela à un sens. C'est équivalent à se poser la question est-ce que a un sens. Car on ne sait rien sur f' (sauf que f' est une dérivée évidemment). Est ce que f' est Riemann-intégrable sur tour [a,b]?
Maintenant ça c'est mon point de vue. Rien ne dit qu'il n'y a pas une autre démonstration.
A ta place je ferai la démo comme ça (voir celle de @ben) en passant sous silence le problème évoqué. Je suis curieux de voir la solution qu'on te donneras!!

[Ben314]

Je te l'avais écrit au dessus : le raisonnement est parfaitement correct, mais il faut le formuler sans utiliser d'intégration mais en utilisant le T.V.I. à la place :

On pose et . La fonction est dérivable (car l'est) et on a .

On fixe . Il existe tel que donc .

La fonction est dérivable sur et a une dérivée positive sur cet intervalle donc (T.V.I.) est croissante sur cet intervalle et on a pour tout .

De même est dérivable sur et a une dérivée négative sur cet intervalle donc (T.V.I.) est décroissante sur cet intervalle et pour tout .

.

[aviateur]

Ok parfait, j'avais pas vu. Donc ça marche.

[math71]

Désolé, je n'avais plus été sur le site après ma réponse et je viens juste de voir votre réponse. Merci beaucoup. Si on corrige cet exercice en classe, je vous dirai si la méthode est différente.