Implication à montrer : fonction qui tend vers l'infini

[flocaz]

Bonjour !!

j'ai une implication à montrer :


,


ça se comprend assez facilement, la première partie nous dit que la fonction est strictement croissante, et donc deux cas se présentent :

- soit elle est majorée, et à une limite finie,
- soit elle tend vers l'infini.

Le premier cas s'élimine, car une limite finie imposerait une asymptote horizontale, et donc un taux d'accroissement qui tend vers 0, donc contradiction....

J'espère que je me trompe pas, et pensez vous que cela suffit, ou qu'il faut le prouver autrement ? avec des symboles, itou itou...

Merci bien, d'avance

[Lemniscate]

Salut,

Tu as une démonstration tout à fait correcte. Après si tu veux approfondir la rédaction, libre à toi, mais tu as l'idée et les arguments, c'est l'essentiel.

Personnelement j'utiliserai le Th. des accroissements finis sur des intervalles [n,n+1] (tu fais tendre n vers l'infini après) pour montrer que si f tend vers une limite finie alors f' tend vers 0.

A plus

[flocaz]

Cool ;)
j'vais regarder un peu plus loin ton idée !
merci !

[Doraki]

Moi j'dirais que la fonction x -> f(x)-epsilon.x est croissante, donc soit elle tend vers l'infini auquel cas f(x) tend encore plus vers l'infini, soit elle est majorée auquel cas f(x) tend quand même vers l'infini.

[mathelot]

bonjour,

autre méthode, le taf:

[flocaz]

Bon, apparemment ça marche pas ( je parle de ce que je proposais )

notre prof nous a sorti un contre exemple :

prenons une fonction qui a une asymptote en plus infini,



en fait, elle reste strictement croissante, mais .... bon regardez le dessin, c'est inexplicable

il nous a accordé que c'était tordu..., pour cela il a introduit une autre fonction
... un peu comme tu proposais Doraki

merci à tous quand même

[Lemniscate]

Bon, apparemment ça marche pas ( je parle de ce que je proposais )

notre prof nous a sorti un contre exemple :

prenons une fonction qui a une asymptote en plus infini,

en fait, elle reste strictement croissante, mais .... bon regardez le dessin, c'est inexplicable

il nous a accordé que c'était tordu..., pour cela il a introduit une autre fonction
... un peu comme tu proposais Doraki

merci à tous quand même

Tu veux dire que f'(x) ne tend pas vers 0 ???

J'aimerais bien que tu me donnes la définition d'une telle fonction ! Et aussi que tu demandes la démo (bien rédigée si possible) de ton prof pour nous la soumettre !

Ou peut-être que je ne vois rien !

De plus que n'ai pas très bien compris la 2 e partie de la démo de Doraki :

soit elle est majorée auquel cas f(x) tend quand même vers l'infini.

Pourquoi f tend quand même vers l'infini ?

Bye !

[SimonB]

Pourquoi f tend quand même vers l'infini ?

Etant croissante et majorée, g tend vers une limite finie, disons L, et alors f se comporte comme de manière assez évidente en l'infini.

[Doraki]

Tu veux dire que f'(x) ne tend pas vers 0 ???

Pour la fonction qu'il a dessinée,
on ne peut pas dire que f' tend vers 0 vu qu'elle a des pics.
On peut mettre une fonction où f' n'est même pas bornée si on veut.

Mais par contre on peut trouver une suite (xn) telle que f'(xn) tende vers 0 quand même (théorème des accroissements finis).
Et le fait que la suite f'(xn) tende vers 0 contredit l'hypothèse f' > epsilon.

[Lemniscate]

Etant croissante et majorée, g tend vers une limite finie, disons L, et alors f se comporte comme de manière assez évidente en l'infini.

Effectivement, merci !

Mais par contre on peut trouver une suite (xn) telle que f'(xn) tende vers 0 quand même (théorème des accroissements finis).
Et le fait que la suite f'(xn) tende vers 0 contredit l'hypothèse f' > epsilon.

Ok je vois, donc l'exemple du prof ne rentre pas dans les hypothèses de l'exo.

Mais pour en revenir aux accroissements finis :

si je prend un intervale , x>a , f est continue et dérivable sur [a,+oo[, f a pour limite L en +oo.
Donc je peux lui appliquer le TAF.
Donc tel que .
quand

Donc quand .

Si je prend aussi petit que je veux, on aura quand car f' continue (f' de classe d'après l'exercice)

Je pense que ce raisonnement à une faille (au niveau de ) ou que Doraki tu ne pensais pas à des fonctions car tu parles de "pics". (cependant sur l'exemple tracé dans ce topic, je ne vois pas pourquoi f' possède des "pics")

En espérant des éclaircissements, Bye!

[Doraki]

Quelquesoit epsilon tu as bien une suite xn avec |xn+1 - xn| < epsilon et telle que f'(xn) tende vers 0, mais ça ne veut pas dire que f' tend vers 0.

Si tu veux un exemple concret,
regarde
Je pense que f a une limite en l'infini mais f' ne tend pas vers 0, elle prend même des valeurs aussi grandes que tu veux.

[Lemniscate]

Quelquesoit epsilon tu as bien une suite xn avec |xn+1 - xn| < epsilon et telle que f'(xn) tende vers 0, mais ça ne veut pas dire que f' tend vers 0.

Si tu veux un exemple concret,
regarde
Je pense que f a une limite en l'infini mais f' ne tend pas vers 0, elle prend même des valeurs aussi grandes que tu veux.

Merci, je vais regarder ton exemple.

Mais pour

tu as bien une suite xn avec |xn+1 - xn| < epsilon et telle que f'(xn) tende vers 0, mais ça ne veut pas dire que f' tend vers 0.

Si f' est continue ca ne change rien ???

A +

[ThSQ]

f a une limite en l'infini mais f' ne tend pas vers 0, elle prend même des valeurs aussi grandes que tu veux.

Autre exemple :

[ThSQ]

f a une limite en l'infini mais f' ne tend pas vers 0, elle prend même des valeurs aussi grandes que tu veux.

Autre exemple : f(x) = sin(x^3)/x

[leon1789]

Moi j'dirais que la fonction x -> f(x)-epsilon.x est croissante, donc soit elle tend vers l'infini auquel cas f(x) tend encore plus vers l'infini, soit elle est majorée auquel cas f(x) tend quand même vers l'infini.

presque pareil : fonction est croissante
donc, pour tout x>0, donc .
Or donc tend vers l'infini, et donc f aussi.

[Lemniscate]

Autre exemple : f(x) = sin(x^3)/x

Ok merci, je dois avouer que je galérais sur l'exemple de Doraki, d'ailleurs si quelqu'un sait comment montrer que la fonction proposée par Doraki est intégrable sur R+*, je veux bien qu'il m'explique (perso j'ai essayer des majorations infructueuses et de voir si la fonction "en dessous" de l'intégrale était pas elle même une dérivée).

Je trouve cela quand même anti intuitif !

Pour ceux ont pas vu pour l'exemple de ThSQ : f tend vers 0 en l'infini (car sin est bornée), f est dérivable sur R+*,
f' est continue, n'a pas de limite finie en l'infini et est non bornée...
J'ai tracé sur Maple, c'est difficile à concevoir mais ca marche !

Merci pour vos exemples, j'y vois plus clair maintenant.

Bye

[ThSQ]

Je trouve cela quand même anti intuitif !

La dérivation se comporte en général bien plus mal que l'intégration.

[Doraki]

Ouais mais ma fonction en plus elle est croissante..

En fait chuis pas sur pour l'intégrabilité, mais bon en remplaçant le t par un t^4 dans l'exposant :



Pour prouver que c'est intégrable et que f admet une limite, tu peux faire des majorations grossières sur les intervalles de la subdivision donnée par les valeurs (k*pi +/- 1/k^3)

Et on a toujours f' > 0 et non bornée au voisinage de l'infini.

[flenne]

Une fonction toujours croissante et dérivable peut tendre vers une limite finie, c'est le cas par exemple de arc tg x
En effet, quelque soit x, on pourra trouver epsilon tel que
arctan'(x) = 1/1+x^2 soit supérieur à epsilon

[ffpower]

hum,personne n a dit le contraire non?on peut prendre f(x)=0 aussi^^