Ne laissons pas ce fil terminer en queue de poisson.
Soit donc
avec la mesure de probabilité uniforme.
Pour tout entier
, soit
la variable aléatoire sur
définie par
si
est la partie fractionnaire d'un réel de
(où
est le nombre harmonique d'indice
), et
sinon.
On a alors
, quantité qui tend vers 1 quand
tend vers l'infini.
Par contre, pour tout
, il existe une infinité d'entiers
tels que
puisque la série harmonique diverge. Donc l'ensemble des
tels que la suite
tende vers
quand
tend vers l'infini est vide. Par conséquent,
.
Morale : se méfier de ce qui semble intuitif !
Bon réveillon !