Système différentiel et exponentielle de matrice

[ArtyB]

Bonjour,
Voici un exercice, ma question est d'ordre méthodologique, je voudrais savoir ce que vous pensez de la méthode de résolution que je propose si elle est adaptée et correcte.

Soit (S) le système différentiel ci-dessous, dans lequel, x, y, z sont des fonctions de classe C^∞ de la variable réelle t :


-Ecrire la matrice A associée à (S) et calculer exp(tA) pour tout t réel
Méthode :
1) On détermine le polynôme caractéristique
2) Pour chaque racine U de multiplicité k on cherche une base de pour i=1…
3) On trouve la forme normale de Jordan de la matrice A
4) On trouve P tel que
5) On peut calculer

-Résoudre (S) et donner la solution qui en t=0 prend la valeur (1,-1,2) que l’on nomme
La solution est

[Robot]

A mon avis, on peut calculer à moindre coût à partir du polynôme caractéristique.
Voir par exemple ce pdf.

[Ben314]

Salut,
A mon sens, c'est parfaitement O.K. comme méthode.

A la limite, on peut essayer d'éviter de calculer P et P^-1 en disant qu'on sait d'avance que tout les coeff. de la matrice exp(tA) seront combinaison linéaires (à coeff. constant) d'un certain nombre de fonctions connues : les fonction t->exp(lambda.t) pour les lambda racines simple du polynôme plus les fonction t->t.exp(lambda.t) pour les lambda racines doubles plus les fonction t->t².exp(lambda.t) pour les lambda racines triples, etc...
Et pour déterminer les fameux coefficients, on peut chercher d'autres méthode que celles consistant à évaluer P et P^-1.

A mon sens, cette idée de ne pas calculer P et P^-1 est surtout une bonne méthode lorsque l'on demande uniquement de résoudre un système différentiel avec des conditions initiales données (et qu'on ne demande donc pas explicitement de calculer exp(t.A)) : dans ce cas, il n'y a "pas trop" de coeffs. à calculer et je pense que ça va plus vite de les calculer à l'aide des condition initiales et du système linéaire.

[ArtyB]

@Robot
Merci pour le pdf. Mais comparé à la décomposition de Dunford, le calcul des puissances des matrices et l'interpolation de Lagrange me paraissent des méthodes plus compliquées.

@Ben314
Ah je n'avais jamais pensé à faire ça, ça permet d'économiser pas mal de temps et de calculs je suppose.

[Robot]

@Robot
Merci pour le pdf. Mais comparé à la décomposition de Dunford, le calcul des puissances des matrices et l'interpolation de Lagrange me paraissent des méthodes plus compliquées.

Absolument pas. Ce n'est pas très différent de ce que suggère Ben314.

Il y a quelque chose d'incontournable : calculer et factoriser le polynôme caractéristique de la matrice A, et éventuellement trouver son polynôme minimal (qui divise le polynôme caractéristique).
Mettons que le polynôme caractéristique soit , et que ce soit aussi le polynôme minimal ( n'est pas diagonalisable).
Le pdf explique (à peu près, je joue un peu avec le ) :
- On détermine les polynôme tel que

Un système 3x3 à résoudre.
- Quand on a trouvé , il suffit d'écrire . Bon, il faut calculer et faire la somme de ces matrices ...
- C'est tout !

[ArtyB]

Merci beaucoup, je n'avais pas compris ça comme ça en fait.

Du coup on détermine les polynômes r tels que pour les valeurs propres de A on ait:







On a donc le polynôme caractéristique de A:

Dont les racines sont racine simple et racine double.
D'où en effet le polynôme caractéristique est:

On détermine le polynôme r tel que:

[Robot]

Non. Tu ne suis pas le mode d'emploi. Relis-le, et applique le correctement.

[ArtyB]

et que ce soit aussi le polynôme minimal (A n'est pas diagonalisable).

En effet je n'ai pas vérifié que c'était le polynôme minimal ni que A n'était pas diagonalisable.

Mais sinon j'ai bien trouvé le polynôme caractéristique et posé le système avec le polynôme r non ?

[Robot]

Non, ce n'est pas le problème avec le polynôme caractéristique (qui est effectivement minimal).
C'est après qu'est le problème. Il faudrait que tu montres plus de soin pour lire et appliquer. Là, ça ne va pas du tout.

[ArtyB]

Mea culpa je n'avais pas fait attention à l'importance de la multiplicité.

Si on pose ,
alors on a bien
D'où pour les valeurs et , on a bien r qui vérifie:

[Robot]

Y'a du mieux, mais ce n'est pas encore tout à fait ça.

On détermine les polynôme tel que

[Ben314]

Perso., j'aurais plutôt dit que c'était ça le système :

[ArtyB]

Mon Dieu, c'est pourtant bien ce que j'ai sur ma feuille...
On fait une réduction de la matrice associée au système et on trouve:

qui donne

Soit en ayant fait les mêmes opérations sur les lignes pour la "colonne des exponentielles"

soit

[Robot]

Perso., j'aurais plutôt dit que c'était ça le système :

Eh bien non, tu aurais eu tort. Tu remarqueras que j'ai après .
En fait, si tu appelles le polynôme vérifiant les conditions que tu as indiquées, "mon" polynôme est défini par (et donc .
C'est bien plus commode comme ça : sinon, dans les coefficients de , on introduit du parasite au dénominateur qui s'en va quand on fait . Inutile donc de s'embarrasser avec ça.

[Robot]

@Arty : des erreurs de calcul !

Avec Maple :

[ArtyB]

Oups, oui en effet un petit signe moins, une fois n'est pas coutume.
Merci Robot !
(Je ne savais pas que Maple était tant utilisé que cela ?!)

[Robot]

J'utilise Maple ou SageMaths (de plus en plus SageMaths).

[ArtyB]

Je ne connais pas SageMaths, je vais aller faire un tour voir ce que c'est. Merci beaucoup de ton aide encore une fois !

[ArtyB]

Je reviens sur cet exercice j'ai essayé de le résoudre en "jordanisant" la matrice liée au système.
On a le polynôme caractéristique suivant:

Donc deux racines, X=1 racine double et X=2 racine simple.

Ensuite on cherche la dimension des jusqu'à avoir la dimension de l'espace caractéristique (où ).
Pour cela on "place" la matrice juste en dessous de B et on fait des opérations sur les colonnes, on arrive à:

où B'=BP.
Les colonnes non nulles de B' sont échelonnées, donc dimKer(B)=1 et est engendré par

On détermine une base de ker(B²) en calculant BB' et en "placant" P au dessus de BB' et on fait des opérations sur les colonnes, on arrive à:

où
Le supplémentaire de kerB dans ker(B²) est engendré par On arrête les calculs pour cette valeur propre car la dimension de l'espace caractériqtique est de 2

On fait pareil avec la seconde valeur propre, en posant on trouve:
où C'=CQ

Donc on a:

et


Soit

[Robot]

Qu'est-ce que tu fabriques ?
Tu as l'air tout de même de t'emmêler facilement les pinceaux dans les calculs.
As-tu vérifié si ton est bien vecteur propre de valeur propre associée 1 ?