Matrice - Syst différentiel avec 2nd membre et cond initiale

[Julien57160]

Bonjour,

J'ai un peu de mal avec cet exercice :hum:

x'= -x(t) + y(t) +3z(t) + cos (t)
y'= -2x(t) + 2y (t) + 2z(t) + sin(t)
z' = -2x(t) + y(t) + 4z(t) + cos (t)

avec condition initiale X(o)= 1
2
3

Je dois donc trouver la solution du système différentiel.

J'ai donc commencé par diagonaliser la matrice, ( qui n'est pas diagonalisable mais triangulable)

en gros je dois résoudre,

x'(t) = A X(t) X(0) (1,2,3) + V(t) (cos,sin,cos) c'est bien ça ?


j'ai du mal avec le second membre et la condition initiale...

Merci :doh:

[Ericovitchi]

Il faut trouver une solution particulière et l'ajouter à la solution sans second membre.
Cherches la solution particulière sous la forme Acost+Bsint

Au final, tonton Wolfram dit qu'il faut trouver :

[Arnaud-29-31]

Bonjour,

L'exo ne présente pas de difficulté mais est assez calculatoire ...

On a le système différentiel X' = A.X + B

On trigonalise A en A' ce qui donne X' = P.A'.P^(-1).X + B (avec P matrice de passage de la base canonique à la nouvelle base)
On multiplie par P^(-1) et on change de variable : Y = P^(-1).X

Et finalement on a Y' = A'.Y + P^(-1).B ... Il va nous falloir P^(-1) (ce qui n'est pas utilise en l'absence de second membre)

On résoud ce système bien plus sympathique que le premier et on utilise ensuite le fait que X = P.Y pour revenir à nos fonction x,y,z de départ.

[Julien57160]

Merci à vous deux,

Arnaud, je suis d'accord sur le principe mais la matrice de passage c'est bien la matrice constituée des vecteurs propres ?
Le soucis c'est qu'il n'existe que deux vecteurs propres linéairement indépendants, et je n'arrive donc pas a trouver la matrice de passage...

[girdav]

Il faut compléter la famille de vecteurs propres de façon à obtenir une base de .

[Julien57160]

je trouve donc comme valeur propre:

1 de multiplicité 1

2 1 3
0 0 -1
0 0 1

et comme vecteur propre associé
-1
2
0

jusque la ok..

pour la valeur propre 2 ( multiplicité 2)

2 1 2
0 -1 0
0 0 0

et comme vecteur propre..
1
0
-1

et je n'arrive pas à en trouver un second..., comment compléter la famille de vecteur propre ?

[windows7]

ou a est la matrice du systeme homogene et B le second membre

[Arnaud-29-31]

On a bien 1 et 2 comme vp

Vecteur propre associé à 1 : (1,2,0)
Vecteur propre associé à 2 : (1,0,1)

On peut compléter cette famille avec le vecteur (1,0,0) pour former une base.
Reste à déterminer l'image de (1,0,0) pour trouver la dernière colonne de la matrice A'.

Tout calcul fait j'ai
1 0 -1
0 2 -2
0 0 2

[windows7]

ou a est la matrice du systeme homogene et B le second membre

utilise cette formule et tu as directement la solution a ton equa diff