Aide etude système differentiel

[albius21]

Rebonjour à tous,

Un autre pb ce matin, je viens d'établir un système différentiel dans le cadre d'une analyse géographique et je souhaiterais appliquer le modèle à des données réelles dans un SIG.
J'ai bien tenté d'ajuster les paramètres du système mais c'est trop compliqué pour moi. Impossible comme dans les systèmes simples de faire du pifomètre. Donc cela requiert une étude du comportement des variables (condition de stabilité...).
Voila donc les équations pour ceux que ca interesse.
alpha, Xi, lambda, taux i, Ro et Phi, les paramètres de contrôle du système
et Vi, Xi et gi les trois fonctions à faire varier.

http://www.hebergementimages.com/image-cf5a4bfef8df087913cab3b33b5ea78d_systeme-differentiel.JPG.html

Cordialement

[mathelot]

Bonjour,

le système n'est pas linéaire à cause du produit
je me demande si l'on ne peut pas le rendre linéaire avec le changement de variable et en calculant avec les égalités du système

si on arrive , par changement de variables, à rendre ce système linéaire, on utilise ensuite les matrices.

[mathelot]

re,

dans le système, les lettres grecques semblent être des coefficients constants et les lettres latines
des fonctions.

qu'en est-il des , fonctions ou constantes ? et les ?

[mathelot]

en tout cas, c'est "nickel" comme notations :++: . Toutes les constantes sont en alphabet grec et
les lettres latines désignent des fonctions. Je vais essayer de linéariser par changement de variables, résultat non garanti !

[JeanJ]

La première, les fonctions Vi(t), gi(t) et Xi(t) sont décrites comme telles car le système est appliqué systématiquement pour i cellules, mais d'un point de vue purement mathématique, il est évident que l'on aurait tout aussi bien pu noter V(t),g(t) et X(t) car le raisonnement en i est équivalent à celui de i+1 ; le système reste le même même si les valeurs initiales changent (Vo,go et Xo).

OK. Maintenant tout est clair.
Enfin, presque tout... Car, du fait qu'il y a " i cellules" (ce que je n'avais pas compris en première lecture), j'ai une nouvelle question pour préciser le problème :
Est-ce que vous cherchez les valeurs optimum des parmètres cellule par cellule, ou au contraire, une valeur unique pour chaque parmètre, pour que l'optimisation soit globale (pour toutes les cellules à la fois) ?
Il y avait, dans mon message précédent, une autre question concernant les données expérimentates (puisque, losqu'on optimise des paramètres, c'est pour que le modèle reproduise au mieux des résultats expérimentaux). Quelles sont vos notations pour les valeurs expérimentales ?

[albius21]

OK. Maintenant tout est clair.
Enfin, presque tout... Car, du fait qu'il y a " i cellules" (ce que je n'avais pas compris en première lecture), j'ai une nouvelle question pour préciser le problème :
Est-ce que vous cherchez les valeurs optimum des parmètres cellule par cellule, ou au contraire, une valeur unique pour chaque parmètre, pour que l'optimisation soit globale (pour toutes les cellules à la fois) ?
Il y avait, dans mon message précédent, une autre question concernant les données expérimentates (puisque, losqu'on optimise des paramètres, c'est pour que le modèle reproduise au mieux des résultats expérimentaux). Quelles sont vos notations pour les valeurs expérimentales ?

Les paramètres sont a évaluer de manière unique pour que l'enveloppe globale donne les meilleurs résultats possibles. Dans une précédente version de ma modélisation, je ne raisonnais que sur deux variables et donc le système était de ce fait nettement plus simple.
http://www.hebergementimages.com/image-a9bbd0c31504749b9de1445975e34d8d_systeme-initial.JPG.html
J'avais alors fait une feuille excel associée dans laquelle je calculais pour chaque grandeur Vi et gi les Vi(t), Vi(t+1) et gi(t), gi(t+1) et cela avec des references à cellules uniques pour les paramètres globaux. C'était artisanal mais ca me permettait simplement de suivre un vecteur initial (Vo, go) dans le temps et donc pour t itérations de comparer avec les données réelles. Ensuite, je faisais mouliner ma macro excel avec mes i cellules et les paramètres globaux évalués. Et, puis, je comparais au final la correlation réel/théorique pour faire en sorte que
1/ la droite se rapproche de Y=X
2/ que le R² soit le meilleur possible
Mais j'avoue que cette approche intuitive est ici impossible en passant à trois équations car en tentant de suivre l'évolution temporelle des variables, je constate une multitude de comportements du système pour des variations infimes au niveau des paramètres et des valeurs initales de Vi, gi et Xi.
Il y a également une petite précision à apporter concernant tau i, je vous disais qu'il s'agissait d'un paramètre dépendant de la cellule i, il se calcule comme il suit :
tau i = delta population(i)/delta t
Encore une dernière chose, je souhaiterais ajouter comme dans mon modèle précédent une fonction pseudo aléatoire aléa dans ma dynamique pour rendre moins mécanique les évolutions je la définis comme il suit :
aléa = (-1)^(arrondi(random()+1.25)). Prend donc tantôt 1, tantôt -1 comme valeur avec une plus grande probabilité pour le 1.
J'avais fait en sorte dans la précédente version cela n'influe pas trop sur la trajectoire globale du système mais ajoute simplement un peu de bruit au modèle. Le soucis est qu'ici d'infimes variations peuvent fondamentalement changer la donne en terme de trajectoire donc n'est ce pas risqué d'introduire ce type de fonction dans le système ?

Sinon, pour répondre à votre seconde question, je ne suis pas sûr d'avoir bien compris ce que vous me demandiez mais s'il faut juste fixer des noms, disons VEi(t) pour la valeur expérimentale de Vi(t), gEi(t) et enfin XEi(t) pour respectivement gi(t) et Xi(t).

[JeanJ]

Bonjour,

Sans vouloir décourager les personnes qui essaient de résoudre le système d'équation, voici ce que j'en pense : compte-tenu de le forme générale de ce système, il est peut-être possible de se ramener à une équation différentielle ordinaire (non partielle). Toutefois, si c'était le cas, il y a une très grande probabilité pour qu'il soit impossible d'exprimer ses solutions avec un nombre non infini de fonctions usuelles ou spéciales répertoriées. Je suis donc persuadé que l'on ne trouvera pas de solution explicite à ce système (sauf peut-être par des séries infinies très compliquées). Mais ceci n'est qu'une appréciation personnelle qui peut être fausse. C'est la raison pour laquelle je ne l'avais pas exprimé aussi clairement dans un premier temps, pour ne pas rebuter ceux qui veulent essayer (et qui pourraient éventuellement réussir contrairement à ce que je crois)
Si mon appréciation s'avère correcte et que vous ne recevez pas de réponse donnant la solution (croyez bien qiue je serais heureux pour vous de m'être trompé), il faudrait se tourner vers des méthodes de calculs purement numériques. C'est à dire susceptibles de répondre à votre problème sans avoir besoin de résoudre analytiquement le système d'équations. C'est pour cela que je suggérais de s'orienter vers une méthode d'optimisation des paramètres de contrôle par "les moindres carrés" étendue aux équations différentielles et/ou intégrales (purement différentielles dans le cas présent) et dont le principe général est expliqué dans un article dont j'ai indiqué les références.
Néanmoins, il est difficile de prédire si cette méthode s'avèrerait (ou non) applicable à ce cas précis. Son adaptation à un tel système de trois équations demanderait un travail préparatoire important. Avant de s'y engager, il serait préférable d'estimer si le jeu en vaut la chandelle, comme on dit.
C'est pour cela que je demande des informations complémentaires et que je pose des questions qui peuvent vous sembler bizarres et sans rapport direct avec la résolution du système d'équations.
Un point important était de savoir s'il s'agit d'une optimisation globale et vous avez répondu positivement. Donc voilà déjà un point clarifié. Ensuite :

Sinon, pour répondre à votre seconde question, je ne suis pas sûr d'avoir bien compris ce que vous me demandiez mais s'il faut juste fixer des noms, disons VEi(t) pour la valeur expérimentale de Vi(t), gEi(t) et enfin XEi(t) pour respectivement gi(t) et Xi(t).

Le but de ma question est de comprendre exactement ce que vous comparez lorsque vous ajustez les paramètres du système (actuellement par tâtonnement). Je sais que cela semble tatillon, mais certains détails d'apparence secondaire s'avèrent très importants dans l'applicabilité ou non d'une méthode de calcul numérique. Votre réponse, bien qu'assez compréhensible, ne me semble pas suffisamment précise pour éviter certains malentendus. Je suppose qiue vous comparez des valeurs numériques (celles mesurées et celles calculées). Pourtant, vous parlez de comparaisons entre VEi(t) et Vi(t) qui ne sont pas des valeurs numériques, mais des fonctions. Il faudrait que les notations pour les valeurs numériques expérimentales soient plus précises (et pas des notations de fonctions) car j'ai des questions délicates à poser les concernant. Ces questions ne sont pas facille à formuler. Pour poser ces questions de façon à ce que l'on se comprenne bien, il est nécessaire que les notations soient sans ambiguité.

Encore une dernière chose, je souhaiterais ajouter comme dans mon modèle précédent une fonction pseudo aléatoire aléa dans ma dynamique pour rendre moins mécanique les évolutions je la définis comme il suit : aléa = (-1)^(arrondi(random()+1.25)). Prend donc tantôt 1, tantôt -1 comme valeur avec une plus grande probabilité pour le 1.

Cette nouvelle variante du problème me semble prématurée. Il faudrait d'abord savoir si la méthode numérique, à laquelle je pense, peut s'appliquer à la version initiale du problème. Si ce n'était pas le cas, il serait inutile d'aller plus loin. Considérez que c'est loin d'être gagné, même pour la version initiale. Mais il y a quand même un espoir, compte-tenu de la forme des équations différentielles et de l'existence d'une méthode de calcul numérique qui semble à-priori compatible. Maintenant, son applicabilité en pratique, pour ce cas précis, va dépendre de la façon dont se présentent les données expérimentales.

Note : Je vais être abscent plusieurs jours. Donc ne vous étonnez pas de ne pas avoir de réponse de ma part pendant un cetain temps.

[albius21]

Merci pour votre reponse.
il est vrai que vous autres mathématiciens êtes assez tatillons sur la sémiologie des formules, je peux le comprendre car sinon comment faire des calculs sans pouvoir s'y reperer.
Donc je crois que le mieux est de noter VE, XE et gE, plus simple, moins allourdi, ca me semble parfaitement cohérent avec le pb.
Par ailleurs, vous parlez de méthode des moindres carrés (je n'ai pas réussi à ouvrir votre lien entre parenthèse), donc il s'agit probablement d'une mathode de minimisation de la somme des résidus au carré. Se pose alors un pb en terme de durée mais peut être vais je vite en besogne. Avec deux équations, ca tournait relativement bien pour 167 entités i, j'ai fait le test avec trois fonctions différentielles, une catastrophe, ca dure très longtemps et encore sans mettre en oeuvre en parallèle une procedure d'ajustement automatique.
Alros c'est pour cette raison que je prefère vous prevenir. Ne serait-il pas préférable d'envisager une étude générale du comportement du système pour mieux cerner les limites du problème (attracteurs...). C'est une idée mais n'ayant pas de formation scientifique, je suppose que vous aurez certainement mieux à me proposer de votre côté.
Le but est bien sûr l'opérabilité d'un tel système.

[JeanJ]

Bonjour,

Ne serait-il pas préférable d'envisager une étude générale du comportement du système pour mieux cerner les limites du problème (attracteurs...). C'est une idée mais n'ayant pas de formation scientifique, je suppose que vous aurez certainement mieux à me proposer de votre côté.

Dans le cas d'équations différentielles dont les solutions ne sont pas explicitées, à ma connaissance, ce qui existe de mieux est ce que je vous ai proposé.

Par ailleurs, vous parlez de méthode des moindres carrés (je n'ai pas réussi à ouvrir votre lien entre parenthèse), donc il s'agit probablement d'une mathode de minimisation de la somme des résidus au carré. Se pose alors un pb en terme de durée mais peut être vais je vite en besogne. Avec deux équations, ca tournait relativement bien pour 167 entités i, j'ai fait le test avec trois fonctions différentielles, une catastrophe, ca dure très longtemps et encore sans mettre en oeuvre en parallèle une procedure d'ajustement automatique. Alros c'est pour cette raison que je prefère vous prevenir.

Si c'est trop long avec la méthode que vous utilisez, c'est qu'elle est inadaptée et peu efficace pour résoudre votre problème.
Actuellement, vous n'avez aucune notion de la façon dont les calculs sont faits avec la méthode de régression et équations intégrales. C'est une méthode directe, sans aucun tâtonnement, ni ajustements successifs, ni calcul récursif. Pourquoi vous inquiétez-vous avant de savoir exactement de quoi il s'agit ?

il est vrai que vous autres mathématiciens êtes assez tatillons sur la sémiologie des formules, je peux le comprendre car sinon comment faire des calculs sans pouvoir s'y reperer. Donc je crois que le mieux est de noter VE, XE et gE, plus simple, moins allourdi, ca me semble parfaitement cohérent avec le pb.

Si c'est tout ce que vous avez comme réponse à mes demandes successives, arrêtons immédiatement ce dialogue de sourds.
La forme générale de votre système d'équation s'accorde très bien avec la méthode de régression avec équations intégrales. Il faut toutefois que les données numériques présentent certaines propriétés pour que la méthode soit robuste. C'est un point préliminaire à vérifier et pour cela, une parfaite compréhension réciproque des notations aurait été un préalable utile. Ce n'est pas en se contentant de dire "le mieux est de noter VE, XE et gE" qu'on peut y arriver. Autant en terminer tout de suite avec ce topic et ne pas y perdre son temps.
Ceci dit, je propose quand même une dernière tentative. Il n'est plus question de notations. On va traiter cela de façon beaucoup plus concrète, en espérant que ce sera clair et définitif : Si vous m'envoyez un fichier de vos données numériques, je les traiterai avec l'algorithme de résolution par régression et équations intégrales. Votre fichier de données numérique peut être très grand, plus les données sont nombreuses, mieux c'est. Mon logiciel peut accepter des dizaines de millier de données et les traiter en quelques secondes ou minutes sur un ordinateur personnel, même peu rapide (il ne résoud pas les équations, mais réalise l'optimisation des paramètres sans que la résolution soit nécessaire).
On verra alors si cet exemple de données numériques est compatible avec cette méthode. Si non, terminé, on n'en parle plus. Si oui, je vous communiquerai le résultat, c'est à dire les valeurs optimum de alpha, lambda, gamma, ksi, phi. Ne me donnez pas ces valeurs ou valeurs approchées, si vous les connaissez déjà.
Si tout se passe bien, il sera possible d'organiser le transfert de connaissances pour que vous puissiez comprendre le principe de calcul et programmer l'algorithme par vos propres moyens.

[albius21]

Bonjour,


Dans le cas d'équations différentielles dont les solutions ne sont pas explicitées, à ma connaissance, ce qui existe de mieux est ce que je vous ai proposé.


Si c'est trop long avec la méthode que vous utilisez, c'est qu'elle est inadaptée et peu efficace pour résoudre votre problème.
Actuellement, vous n'avez aucune notion de la façon dont les calculs sont faits avec la méthode de régression et équations intégrales. C'est une méthode directe, sans aucun tâtonnement, ni ajustements successifs, ni calcul récursif. Pourquoi vous inquiétez-vous avant de savoir exactement de quoi il s'agit ?


Si c'est tout ce que vous avez comme réponse à mes demandes successives, arrêtons immédiatement ce dialogue de sourds.
La forme générale de votre système d'équation s'accorde très bien avec la méthode de régression avec équations intégrales. Il faut toutefois que les données numériques présentent certaines propriétés pour que la méthode soit robuste. C'est un point préliminaire à vérifier et pour cela, une parfaite compréhension réciproque des notations aurait été un préalable utile. Ce n'est pas en se contentant de dire "le mieux est de noter VE, XE et gE" qu'on peut y arriver. Autant en terminer tout de suite avec ce topic et ne pas y perdre son temps.
Ceci dit, je propose quand même une dernière tentative. Il n'est plus question de notations. On va traiter cela de façon beaucoup plus concrète, en espérant que ce sera clair et définitif : Si vous m'envoyez un fichier de vos données numériques, je les traiterai avec l'algorithme de résolution par régression et équations intégrales. Votre fichier de données numérique peut être très grand, plus les données sont nombreuses, mieux c'est. Mon logiciel peut accepter des dizaines de millier de données et les traiter en quelques secondes ou minutes sur un ordinateur personnel, même peu rapide (il ne résoud pas les équations, mais réalise l'optimisation des paramètres sans que la résolution soit nécessaire).
On verra alors si cet exemple de données numériques est compatible avec cette méthode. Si non, terminé, on n'en parle plus. Si oui, je vous communiquerai le résultat, c'est à dire les valeurs optimum de alpha, lambda, gamma, ksi, phi. Ne me donnez pas ces valeurs ou valeurs approchées, si vous les connaissez déjà.
Si tout se passe bien, il sera possible d'organiser le transfert de connaissances pour que vous puissiez comprendre le principe de calcul et programmer l'algorithme par vos propres moyens.

Ce serait effectivement une excellente idée de tenter un ajustement avec votre méthode. Je ne peux pas vous joindre mes données cette après midi car je suis au travail mais en revanche ce soir ou demain matin de bonne heure ce sera possible.
Par ailleurs, en refaisant les calculs, je me suis aperçu que mes formules contenaient des erreurs et donc je vous donne la version definitive du système.
Toujours les mêmes principes Vi, Xi et Xi, les fonctions, les lettres grecs (minuscules et majuscules), les constantes à évaluer. tau i une constante particulière qui est associée à chaque cellule i (deja calculée). J'ai également ajouté Aléa pour une fonction aléatoire binaire (à probabilité pipée) mais elle n'est pas fondamentalement nécessaire et peut être supprimée si cela pose un problème pour l'ajustement.

http://www.hebergementimages.com/image-4b82515525982bbc905c2eafadc68ad4_systC3A8me20differentiel1.JPG.html

Veuillez me pardonner pour cette lenteur dans les calculs et erreurs mais c'est vrai qu'en tant que géographe, ce n'est pas forcement évident de developper ce genre d'approche et plus encore d'appliquer les modèles dans nos outils purement disciplinaires.

[JeanJ]

Bonjour albius21,
n'ayant pas reçu vos données numériques, j'en conclus que ma proposition du 18/10 ne vous convient pas.
Mais peut-être avez vous obtenu par ailleurs une aide satisfaisante. C'est du moins ce que je vous souhaite.
En tout cas, ce topic est clos en ce qui me concerne.