Système différentiel - exponentielle de matrice

[MacManus]

Bonjour

J'ai besoin d'aide car je ne parviens pas à traiter un exercice. J'ai déjà fait de tels exos, mais ça date un peu et je ne sais plus trop comment m'y prendre...

Je souhaite résoudre le système différentiel X'(t)=MX(t) avec X : I --->R^3 où I est un intervalle de R et où M=

Il me semble bien que M n'est pas diagonalisable, ni trigonalisable (le polynôme caractéristique de M est - et n'est pas scindé, le sous-espace propre associé à la valeur propre triple 1 est de dimension 2, si je ne ne dis pas de bêtises). De plus, je n'ai aucune condition initiale sur le vecteur X(t).
On sait que l'on a X(t) = exp(tM)*X(0).

Questions :

- Quelle est la dimension de l'ensemble des solutions du système ?
- Est-ce que le système possède des solutions telles que I=R ?
- Quelle est l'expression de exp(tM) ?

Voilà si vous pouviez m'éclairer, merci beaucoup

[Maks]

Il me semble bien que M n'est pas diagonalisable, ni trigonalisable (le polynôme caractéristique de M est - et n'est pas scindé)

Et si tu considères que est une matrice complexe ?


EDIT : pourquoi je dis ça moi ? C'est déjà scindé ...

[The Void]

Le polynôme est scindé! cf la définition.
Tu peux donc trigonaliser P inversible, A triangulaire, .

A = Id + N, N étant nilpotente.
exp(A) = exp(1) exp(N), et exp(N) peut être calculé en revenant à la définition.

[MacManus]

Oui le polynôme caractéristique est scindé biensûr :soupir2:

[MacManus]

M=

je calcule la matrice M-Id et j'obtiens M-Id=

ensuite je détermine le sous-espace propre associé à la valeur propre triple 1 et je trouve que sa dimension vaut 2 car on a (sauf erreur) :
Je connais donc 2 vecteurs propres de la matrice de passage P.
Comment est-ce que je peux déterminer un troisième vecteur pour P ?
D'autre part, M est semblable à la matrice triangulaire T suivante :
T=. Quelles sont les conditions sur a et b ?

Merci!!

[MacManus]

Pour déterminer un troisième vecteur pour la matrice P, je pense que je dois le choisir de telle sorte que la famille de vecteurs soit une base....

Quelqu'un pourrait-il m'aider car je suis un peu bloqué ? merci!!:)

[Narhm]

Bonjour,

Hum, tu as du faire une erreur dans la détermination du sous espace propre associé à la valeur propre 1.


Donc .
Ainsi il te faut trouver 2 vecteurs pour que soit une base de trigonalisation.
Tu peux prendre tel que par exemple. Ensuite pour , il ne reste plus qu'à le choisir afin que soit une base de

Sinon, une autre technique :
D'apres le théoreme de Cayley Hamilton, le polynôme caractéristique de M annule M, donc .
Comme M et I3 commutent,


Sauf erreur...