Surjectivité (PARADOXE DE RUSSELL(du barbier))

[Orph123]

Bonjour tout le monde, je suis en première prépa, et j'aimerais votre aide dans cet exercice, mercii
******Soit E un ensemble*********************
******Montrer qu'il n'existe pas d'application f surjective de E dans P(E)(partie de E)******

[mathelot]

bonsoir,

un petit paradoxe , dit "paradoxe du barbier":
le barbier d'un village est l'homme qui rase les hommes qui ne se rasent pas eux mêmes. Question: est-ce que le barbier se rase ?

[mathelot]

Re-bonjour,
Soit f une telle surjection :
Intéresse-toi à la partie

[Orph123]

Aaaaah c'est le paradoxe de russel!!!! merciii et svp est ce que vous avez d'autres exos qui traitent le paradoxe de Russel et merci une autre fois!!!!

[mathelot]

Attend, ce n'est pas fini. On suppose qu'il existe une surjection f de E sur P(E) et on veut en déduire une contradiction. Pose cette partie I a un antécédent par f.
Tester si appartient à I, puis n'appartient pas à I. Y-a-t-il une contradiction ?

[Orph123]

si x0 appartient à I Alors x0 n'appartient pas à f(x0) c'est à dire n'appartient pas à I (absurde/contradiction)
si x0 n'appartient pas à I c'est à dire x0 appartient à f(x0) c'est à dire appartient à I (absurde/contradiction)

[mathelot]

soit A la proposition . non(A) sa négation.
Si , on lui rajoute la tautologie
donc non(A) est vraie dans tous les cas, donc A est fausse.
De même
Si , on lui rajoute la tautologie
donc A est vraie.
La conjonction de ces deux implications, et , est contradictoire.A est à la fois Vraie et Fausse.
donc l'hypothèse est fausse, il n'existe pas d'application surjective de E sur P(E)

[Orph123]

oui merci!!
mais svp depuis tout à l'heure j'essaye de projeter le paradoxe du barbier sur ce problème mais je n'arrive pas à faire une connexion. les hommes qui ne se rasent pas c'est l'ensembleP(E) et le barbier c'est E??

[mathelot]

les deux algorithmes (du barbier et de la surjectivité) se ressemblent,je ne sais s'il y a un moyen de les "matcher".

[tournesol]

E désigne l'ensemble des habitants du village V .
r est la fonction de E dans P(E) définie par :
r(x) est l'ensemble des habitants de V qui sont rasés par x .
Alors l'ensemble des habitants de V qui ne se rasent pas eux mêmes n'a pas d'antécédent .
Autrement dit , personne ne peut logiquement raser tous les habitants de V qui ne se rasent pas eux mêmes .