Suite récurrente

[Lemniscate]

Bonjour, j'ai l'exo suivant :

Soit une suite de réels strictement positifs, qui tend vers a>0.
Soit la suite défine par
Etude de la suite

Il est clair qu'il ne faut pas introduire de fonction car ici dépend de mais aussi de .

J'ai pensé à passer l'égalité par la fonction ln :

On pose et on a .

Or cv vers a>0 donc, comme ln continue sur ]0,+oo[, cv ver ln(a).

Donc il existe un rang k tel que pour tout , .

Donc pour tout .

Or quand et v_k est constant (k fixé).
Et quand .

D'où quand .

D'où quand (continuité de l'exp sur R).

Je me demande si ma démo est bonne, surtout le coup du
"Donc il existe un rang k tel que pour tout , ." En fait j'ai pas mis un symbole "equvalent" car je voulais gardé mon "k fixé" après. Et je voulais aussi éviter de passer par la définition de la limite de avec les .

[mathelot]

D'où quand (continuité de l'exp sur R).

Je me demande si ma démo est bonne

non. équation des points fixes



de plus

par la fonction ln :

On pose et on a .

le logarithme n'est pas une fonction linéaire :doh:

[mathelot]

re,

j'ai pensé à la démo suivante, assez longue:

1)
quelque soit b>0 fixé, la suite
converge.
On note W(b) cette suite, qui dépend de la constante b,
et aussi de son 1er terme, mais ça, on s'en fiche.


elle converge vers
d'après l'équation aux points fixes

sa limite ne dépend pas de la valeur du premier terme
(indice 0)

2) pour n assez grand



Pour n assez grand, ces inégalités sont héréditaires
et la suite (U_n) est encadrée entre les termes généraux
des suites et

On en déduit un encadrement de et

entre
et

d'où, la limite de la suite de terme général (u_n) existe et vaut

[Lemniscate]

le logarithme n'est pas une fonction linéaire :doh:

Oui effectivement ! Je m'en était pas rendu compte de cette erreur ! Mea culpa...

Sinon je vais essayer ce que vous m'avez proposé.

Merci, et encore désolé (j'ai honte un peu quand même !)