Suite récurrente d'ordre 2 non linéaire

[Impiger]

Bonjour j'ai un DM assez long qui me pose problème par endroits, ça risque donc d'être un peu long pour l'énoncé. Ce serait bien aimbale à vous si vous pouviez m'ouvrir les yeux.

S est l'ensemble des suites réelles avec
u(0)>ou=0 u0=x
u(1)>ou=0 u1=y
u(n+1)=1/2 (u(n)² + u(n-1)²)
On désigne u par u(x,y). Eµ est l'ensemble des éléments (x,y) positifs tels que u(x,y) ait pour limite µ qui peut être égal à (+ou-) l'infini

1) Déterminer les suites constantes de S. Là il ya u=0 et u=1
2) Quelles sont les limites possibles finies ou infinies d'une suite de S ? J e sais bien qu'il y a 0,1 (si u=cte), mais comment prouver qu'il y a aussi +Infini ?
3) Soit (Un) une suite de S. Etant donné n>ou=2 comparer les signes de
u(n+1)-u(n) et de u(n)-u(n-2). J'essaye de les tourner dans tous les sens, mais je n'y parviens pas !

Ensuite on démontre que s'il exite N>ou=1 : u(N+1)>ou=u(N) et u(N+1)>ou=u(N-1) [relation E] u croît à partir d'un certain rang, et inversement pour u décroissante: [relation F]
On montre aussi que si u (non cte) ne vérifie ni E ni F, alors on a
u(0)u(1). Alors u tend vers 1;
On montrer aussi que si u croissante , majorée par 1, alors U est cte. Si elle est non majorée, elle tend vers + l'inf.Si u est décroissante non cte, elle converge vers 0.

4) Montrer que E0, E1, Einfini sont non vides. ça ce n'est pas difficile. Mais
quelle est leur réunion ? Là je ne comprends pas du tout ce que ça représente !

On montrer aussi que u(1,58 ; 0) tend vers 0 et u(1,59 ; 0) tend vers +infini.

5) Si x 0, U(N-1) +e ou=N =>( U+eou=x' et y>ou=y' et ...Là moi j'ai dit que µ'=µ=1 dans les 2 cas, mais ça me semble vraiment faux. Mias je ne sais pas le montrer !
8) Justifier l'existence d'un réel a >0 a=sup{x>ou=0 tq µ(x,0)=0} C'est évident d'après les résultats sur u(1,58 ; 0) et u(1,59 ; 0), mais en langage formel, comment le dire ?

J e m'arrête là pour l'instant. Merci de votre aide et de m'avoir lu jusque là !

[girdav]

Bonjour j'ai un DM assez long qui me pose problème par endroits, ça risque donc d'être un peu long pour l'énoncé. Ce serait bien aimbale à vous si vous pouviez m'ouvrir les yeux.

S est l'ensemble des suites réelles avec



On désigne u par u(x,y). Eµ est l'ensemble des éléments (x,y) positifs tels que u(x,y) ait pour limite µ qui peut être égal à (+ou-) l'infini

1) Déterminer les suites constantes de S. Là il ya u=0 et u=1
2) Quelles sont les limites possibles finies ou infinies d'une suite de S ? J e sais bien qu'il y a 0,1 (si u=cte), mais comment prouver qu'il y a aussi +Infini ?

Parmi les limites finies?
Pour la question 3, on peut écrire que .

[Impiger]

Ben non, on peut aussi avoir + infini parmi les limites infinies , non ?

Pour la 3 , oui maintenant c'est évident. Merci

Vous auriez des idées pour la suite ?

[girdav]

Désolé je n'avais lu que la moitié de la phrase, ce qui a rendu ma réponse quelque peu incohérente. On peut prendre , .

[Impiger]

Ah d'accord, je ne pensais pas qu'on avait le droit juste, de prendre des valeurs et de montrer que ça marche. Mais je suis d'accord que ça marche , et bie même. Merci.

Vous auriez une idée comment traiter les autres questions car, je suis sûr qu'lles me bloquent pour la suite ? :marteau:

[girdav]

Je vais devoir te demander de ifier le premier message, car j'ai de plus en plus de mal à lire.

[Harchy]

Salut

Pour la question 2, une condition nécessaire à pour être une limite est de vérifier l'équation ; pour s'en convaincre, il suffit de faire la limite en l'infini de l'égalité définissant la suite.
Pour les limites infinies, on peut donc exclure et retenir .

[Impiger]

Ah ben oui, je n'y avais pas pensé Harchy, merci.

Par contre je ne demanderais que ça de simplifier le message en latex, si je savais comment faire !

[Harchy]

Pour les formules avec , va voir le lien : http://www.maths-forum.com/ecrire-belles-formules-mathematiques-balises-tex-70548.php

[Impiger]

ok MERCI !

[EMMA777]

Salut, le sujet est vraiment vieux mais là j'ai le même exo en entier (je me demande où mon prof est allé l'avoir...) et je bloque sur la partie 2. Donc je me demandais comment @Impiger a fait au final...