Suite récurrente

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

Je suis sur un exercice assez long et qui me donne du fil à retordre :

Soit une suite définie par son premier terme :

Soit , la suite définie par : ,

-je n'arrive pas à montrer que si on dispose d'un entier naturel p tel que alors la suite est croissante et tend vers

(je pensais montrer par récurrence que pour tout entier , , mais je n'y arrive pas du tout)

-j'ai montré que la suite converge vers un certain réel S, que la suite peut s'écrire pour tout entier naturel n non nul:

On introduit une suite définie par :

et pour tout entier n non nul , elle peut aussi s'écrire sous la forme (sous cette écriture c'est pour tout entier n)

-Je n'arrive pas à montrer que tend vers et que pour tout entier naturel n :

Si quelqu'un peut me m'aider svp

je vous remercie d'avance

[Ben314]

Salut,
Pour ton premier problème, écrit que avec .
Calcule et trouve un minorant relativement simple
Idem pour .
Fait une conjecture et montre la par récurrence.


Indication : il pourra être utile de montrer puis d'utiliser le fait que


Edit : en fait, je suis franchement con : le epsilon ne sert à rien vu que tend vers l'infini (à la limite il permet de voir que la suite "explose")

[Ben314]

Concernant la fin, vu que , trouver un encadrement (assez précis) de , ça veut dire trouver un encadrement de .

Le fait que, pour on a te donne un minorant simple de qui, a mon avis, va te donner le bon minorant pour .

[Ben314]

Pour le majorant, je trouve que des trucs assez compliqué...
Montrer que revient à montrer que . Or



où car et

Donc

Pour conclure, il suffit donc de montrer que c'est à dire soit encore ce qui est vrai.

[jonses]

Concernant la fin, vu que , trouver un encadrement (assez précis) de , ça veut dire trouver un encadrement de .

Le fait que, pour on a te donne un minorant simple de qui, a mon avis, va te donner le bon minorant pour .

Désolé, mais je ne comprends pas très bien ce passage : pourquoi ?

Je pense que j'ai compris ça, mais je ne comprends très bien le calcul

[Ben314]

S c'est la somme de 0 à l'infini de blablabla.
sn c'est la même somme de 0 à n-1.
Donc S-sn, c'est la même somme de n à l'infini.

...mais je ne comprends (pas?) très bien le calcul

Lequel ?

[jonses]

S c'est la somme de 0 à l'infini de blablabla.
sn c'est la même somme de 0 à n-1.
Donc S-sn, c'est la même somme de n à l'infini.

Ok merci

Mais le problème est que je pense pas que j'aie le droit de manier de telle somme (somme avec un infini dessus), je vais de voir si je suis capable de réussir à bornée a_n comme voulu (j'y suis dessu depuis un bon moment en fait)

[Ben314]

Si c'est que ça le problème, il te suffit d'écrire là où moi j'écrit ?

Après, concernant le minorant, je pense qu'il faut faire comme je le propose (quitte à mettre des limites à la place des sommes infinies : ça change absolument rien)
Mais pour le majorant, j'espère qu'il y a plus simple que ce que 'ai fait qui est... pourri...

[jonses]

Pour le majorant, je trouve que des trucs assez compliqué...
Montrer que revient à montrer que . Or



où car et

Donc

Pour conclure, il suffit donc de montrer que c'est à dire soit encore ce qui est vrai.

C'est ce calcul que j'ai du mal à bien assimiler, mais je pense que si je me concentre (et avec un peu de bonne volonté) je peux le comprendre plus ou moins

[Ben314]

A un moment, j'utilise "direct" un truc que tu risque de ne pas avoir vu :
valable pour (et je l'utilise pour .
Ca se démontre (par exemple) en partant de la formule classique (pour tout x différent de 1)
On dérive des deux cotés, puis on fait tendre n vers l'infini (et le jour on on sait qu'on a le droit, ben on fait le contraire : on fait tendre n vers l'infini puis on dérive...)

[jonses]

D'accord, merci !