Suite récurrente d'ordre2

[ucigac]

Bonjour,

Pour une suite Un+2=aUn+1 + bUn
polynome caractéristique r²-ar-b=0
Comment peut on démontrer que le terme général de la suite est
Un=c1r1^n + c2r2^n (c1,c2 appartien à R²)
?

Je suppose qu'une récurrnce devrait marcher mais je n'arrive pas à l'amorcer.
Merci d'avance pour vtre aide.

[windows7]

heu ton un est faux la

bah montre que les suites de cette forme sont un ev de dim 2

[ucigac]

Oups j'ai corrigé
En fait je voulais faire une récurrence double mais j'ai pas réussi donc je voulais savoir si c'est moi suis mauvais parce que la récurrence marche ou si il faut passer par les ensembles.
Si la récurrence marche je veux bien de l'aide.

[Ben314]

Salut,
Je comprend pas trop à quel endroit tu veut faire une récurrence...
La façon usuelle (et la plus naturelle) est de passer par les espaces vectoriels, mais à la limite, on peut s'en passer et dans ce cas les deux étapes sont :
1) On montre que toute suite de la forme Vn=c1r1^n + c2r2^n (avec c1 et c2 quelconques) vérifie V(n+2)=aV(n+1)+bVn pour tout n.
2) On montre qu'il existe des constantes précise c1 et c2 telles que V0=U0 et V1=U1 (à condition évidement que r²-ar-b=0 ait deux racines distincts)

Maintenant que j'y pense, effectivement, arrivé à ce point, tu peut vérifier (par récurrence) que Un=Vn pour tout n, mais perso, ça me parrait totalement évident : les deux suites ont les mêmes deux premiers termes et vérifient la même formule de récurrence (double)
Si tu fait cette preuve, ben en fait ce que tu montre, c'est que, si on connait U0 et U1 et qu'on sait que U(n+2)=aU(n+1)+bUn pour tout n, alors ça définit bien une unique suite. A mon avis, on peut considérer qu'on le savait déjà au début de l'exercice...