Suite de corps

[Archytas]

Bonjour,
Voici un lien sur les extensions de corps :
http://blogperso.univ-rennes1.fr/jeremy.le-borgne/public/introgalois.pdf
Dans "1.3 Construction à la règle et au compas" juste en dessous de la Définition 1.17 est écrit

Soit K0 le sous corps de R engendré par les points de P0

Et je comprends pas bien parce que soit on considère directement le sous corps des nombres constructibles soit on considère des étapes successives de construction comme indiqué K0, K1, K2... mais pourquoi s'agit il de sous corps de R ?
J'imagine que si P0 = {(0,0),(0,1)} alors K0 est Q les nombres rationnels mais je comprends pas très bien pourquoi... Quelqu'un peut m'expliquer ?
Merci d'avance et bonne journée !

[Robot]

1°) Tu tronque la citation. Pour de vrai, c'est

Soit le sous-corps de engendré par les coordonnées des points de

ce qui est bien différent.
2°) Je ne vois pas ce que tu comprends pas, une fois que la citation est remise à l'endroit. Le sous corps de erngendré par un nombre fini de réels donnés, tu ne vois vraiment pas ce que ça veut dire ?

[Archytas]

Oups oui en effet... J'étais un peu perdu par les notation désolé ...
Donc en fait on considère un certain nombre de points du plan et la première étape consiste à construire tous les cercles et droites possibles en considérant chaque couple de point et ensuite on considère toutes les intersections des droites et des cercles ce qui nous donne encore pleins de points et on considère le sous ensemble de R des normes de ses points et on prend le plus petit sous corps de R engendré par ces points, j'ai bon ?
Et pour P0 = {(0,0),(0,1)} c'est pas Q mais Q(rac(3)) non ?
Edit pas Q(rac(3)) mais Q(rac(3),rac(5))

[Doraki]

Non. Tu as un ensembles de points par exemple P0 = {(0,0),(0,1)}
A partir de ça tu regardes l'ensemble des coordonnées des points de P0, qui est donc un ensembles de nombres réels, ici c'est {0,1}
Et avec ça tu définis K0 = le plus petit sous-corps de R engendré par ces coordonnées, donc Q auquel tu rajoutes 0 et 1.
Comme ils sont déjà dans Q, K0 = Q.

[Archytas]

Ah d'accord donc il n'est pas question de norme entre deux vecteurs des Pi ? ça m'aurait semblé plus logique étant donné qu'au compas c'est bien la norme entre deux points qui sera le rayon du cercle tracé ayant pour centre un point et passant par l'autre. Bon super, au moins c'est clair ! Merci à vous deux
Bonne journée !

[Archytas]

Et donc K0=Q(rac(5)) n'est ce pas ? Parce que les deux cercles tracés se coupent en (0.5,rac(5)/2) et son conjugué.

[Robot]

Tu as l'air d'avoir tendance à lire autre chose que ce qui est écrit, du genre ne pas lire "les coordonnées", ou lire "la norme" au lieu de lire "les coordonnées".

L'ensemble des coordonnées des points de , c'est . Et le sous-corps de engendré par , c'est , point barre !
Si tu traces le cercle de centre (0,0) passant par (1,0) et celui de centre (1,0) et passant par (0,0), tu construis le point . Prenons . Le sous-corps de engendré par les coordonnées des points de est .

[Archytas]

Ok désolé, je suis sur deux documents en même temps et ils sont pas du tout égaux. Et pour le racine de 5 ou lieu de 3 c'est juste une erreur de calcul de débutant... inversion de l'hypoténuse avec un autre coté --'... ça me semblait bizarre en effet

[Archytas]

Salut j'ai encore deux questions sur les démonstrations de ce pdf.
Dans le Lemme 1.20 on dit que si x est dans K0 (i.e. il est une coordonnée d'un point de P0) alors (x,0) est constructible, ça se fait super bien géométriquement donc je comprends mais la preuve qui est écrite je ne comprends pas. J'imagine qu'on veut montrer que les coordonnées des axes des abscisses (qu'on peut identifier à R) forme un sous corps de R et par un argument de plus petit sous corps on a notre réponse. Mais je vois pas en quoi ça prouve le lemme, si on a (x,y) dans P0 avec y différent de 0 je vois pas en quoi la démonstration prouve que (x,0) est constructible...
Autre question :
On dit dans la démonstration du théorème de Wantzel que les éléments x de K0 peuvent être rajoutés comme (x,0) à P0 sous entendu sans que ça change K1, K2 et je comprends pas bien pourquoi... help je comprends que K0 ne change pas mais pour ceux d'après comme on aura plus de cercles et de droites, pourquoi il y aurait pas des racines de 5 qui apparaitraient par exemple ?

[Robot]

Un sous-ensemble de R contenant 0 et 1 est un sous-corps si et seulement si il est clos par (x,y) |-> x-y et (x,y) |-> x/y (avec y différent de 0).
Pour le reste, tu lis encore une fois autre chose que ce qui est écrit;

[Archytas]

Oui je sais ça mais je comprends pas le rapport entre ce qu'il démontre et le lemme en question... partant d'un point du corps K0 donc généré par les coordonnées des points de P0 on voudrait montrer qu'il existe un point constructible (x,0) et je ne comprends pas pourquoi on part de deux points déjà sur les abscisses. Je ne comprends pas le raisonnement, je ne comprends pas le "Il suffit de montrer que... ". Qu'est ce que je lis de travers ?

[Ben314]

Salut,
Ce qu'il montre, c'est que l'ensemble des réels tel que le point soit constructible à partir de est un corps.
Comme ce corps contient trivialement les coordonnées des points de , et que, par définition, est le plus petit (pour l'inclusion) sous corps contenant ces mêmes coordonnées, on a .

[Archytas]

Ah putain mais comment je peux ne pas penser à ça --'... J'ai gratté des pages alors que c'est l'évidence. Faut que je dorme. Enfin non c'est les partiels dans deux jours... Et j'imagine que pour la deuxième question c'est un truc tout aussi évident ? Mais je vois pas. Je suis un peu paumé entre ces histoires de ce qu'on construit, ce qui est un élément du corps puis engendré etc... Pourtant je lis et je relis (et j'essaie de lire dans le bon sens) mais bon j'arrive pas à faire les liens . ça ira mieux après un autre café. Désolé de vous faire écrire des évidences --'

[Ben314]

On dit dans la démonstration du théorème de Wantzel que les éléments x de K0 peuvent être rajoutés comme (x,0) à P0 sous entendu sans que ça change K1, K2 et je comprends pas bien pourquoi...

Dans cette partie là, tu en est à montrer que la condition est suffisante, donc au départ tu te donne une suite de corps a laquelle tu ne va rien changer du tout.
Après, ce qu'on te dit, c'est qu'étant donne un dans , ça ne coute rien de supposer que est dans vu qu'on peut construire partant des points de (Lemme 1.20), et que, d'un autre coté, si on pose le corps engendré par les coordonnées de reste égal à .

[Archytas]

et que, d'un autre coté, si on pose le corps engendré par les coordonnées de reste égal à .

ça je suis d'accord je comprends

Après, ce qu'on te dit, c'est qu'étant donne un dans , ça ne coute rien de supposer que est dans vu qu'on peut construire partant des points de (Lemme 1.20),

Voilà c'est là que je comprends pas Po et Po' engendreront le même corps mais pourquoi à l'étape suivante P1 et P1' engendreront encore le même corps K1 ?

[Robot]

Je répète une nouvelle fois que tu lis des choses qui ne sont pas écrites.

[Archytas]

Et quoi donc ?
Moi je lis on a Po au départ. On construit Ko à partir de Po. Ensuite on construit P1 à partir de Po puis K1 à partir de P1.
Dans la démonstration on se donne Ko et K1. On change VRAIMENT Po, ce qui ne change pas Ko. Ok. Mais le fait de changer Po change VRAIMENT P1. Donc étant donné qu'on a pris Ko et K1 fixés à l'avance en quoi le fait que je me pose la question de si K1 change c'est grave ? Parce qu'effectivement si K1 change la démonstration n'est plus valide... Où est mon erreur ? Et me dîtes pas que je lis des choses qui n'existent pas je sais que ça n'est pas écrit j'essaie juste de comprendre et avoir une réponse à fournir au cas où on me pose cette question ! S'il ne s'agissait que de reproduire un texte et le relire lettre pour lettre je vous emmerderais pas c'est promis.

[Robot]

Où as tu lu qu'on construit P1 ? Quelle ligne de la démonstration du théorème 1.21 ?
Ce n'est pas la première fois que je te fais ce reproche. Tu inventes autre chose que ce qui est écrit et après tu t'étonnes de ne pas comprendre ce que tu as inventé. Ici est donné, on n'y touche plus. On montre que ses éléments sont constructibles à partir de . Point c'est tout.
Il est effectivement important de lire le texte, mot par mot sinon lettre par lettre, pour bien comprendre ce qui y est écrit, et pas autre chose.

[Archytas]

Le texte je l'ai lu 100 fois déjà, le lire une 100 ème fois ne changera rien je pense.
Ce que je comprends pas c'est le "on peut donc les supposer dans P0" et vous me dîtes que ça change rien parce que c'est comme ça et moi je comprends pas. Pour moi quand on part d'une donnée et qu'on raisonne dessus on a pas le droit d'y toucher à moins que ça ne change rien "on peut donc les supposer dans P0" suggère que changer P0 ne change rien. Pourquoi ?
Vous êtes d'accord que le texte revient à dire "quitte à changer Po à Po union quelques points" ? Et vous êtes d'accord qu'on aura aussi un P1 différent non ? Donc un K1 éventuellement plus large ? Et comme on a pris un x dans K1 au départ ça peut fosser le raisonnement ? Où est ce que je déraille ?

[Ben314]

Bon, visiblement, j'ai pas été assez clair :

Dans cette partie là, tu en est à montrer que la condition est suffisante, donc au départ tu te donne une suite de corps a laquelle tu ne va rien changer du tout.

Et tu te donne aussi , mais rien d'autre vu que, justement, les ensembles de points c'est ce que tu cherche à construire.

Donc de "modifier" (au départ), ça n'a pas de sens de se poser la question de savoir si ça "modifie" vu qu'ils n'ont pas encore été construits.
Tout ce qui compte, c'est que ça ne modifie pas les autres données initiales du problème.