Suite de Cauchy

[mehdi-128]

Bonsoir,

Je lis une démonstration de la propriété suivante :

est une suite de réels. On a :
est de Cauchy est bornée.

Comme la suite est de Cauchy en spécialisant et :



Mais en appliquant la définition, j'ai l'impression que l'auteur a oublié une condition, en effet j'aurais mis à la place :



Car dans le cours on a la condition : vous en pensez quoi ?

C'est-à-dire :

Idem, j'aurais mis à la place :

quel est votre avis ?

Posons :

Alors

J'ai rien compris au M avec les max

Merci d'avance.

[Pseuda]

Bonsoir,

Incompréhensible. Ce serait pas plutôt N1 >= N qu'il aurait oublié. Peux-tu tout réécrire ?

[mehdi-128]

D'accord !

On dit qu'une suite est de Cauchy lorsque :


Comme la suite est de Cauchy en spécialisant et :



C'est-à-dire :


Posons :

Alors

Ce qui prouve que la suite est bornée.

[Pseuda]

Bonjour,

En effet, ce n'est pas faux (sauf qu'il manque les valeurs absolues aux éléments de : où as-tu été pêché ça ?) mais il faut préciser (dans ce sens-là, pas dans l'autre). Mais pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué, et aller chercher un inutile ...

On fixe . On a alors : , donc .

On pose . La suite est bornée par .

[LB2]

Bonjour,

comme le disait Pseuda, est inutile, tu peux le remplacer par et la preuve fonctionne très bien.

L'idée étant :

- je contrôle (= majore) à partir d'un certain rang , car la suite est de Cauchy
- je contrôle jusqu'au rang , car il y a un nombre fini de termes

donc la suite est bornée (attention à ne pas oublier les valeurs absolues sinon la preuve est fausse)

[mehdi-128]

Bonjour,

En effet, ce n'est pas faux (sauf qu'il manque les valeurs absolues aux éléments de : où as-tu été pêché ça ?) mais il faut préciser (dans ce sens-là, pas dans l'autre). Mais pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué, et aller chercher un inutile ...

On fixe . On a alors : , donc .

On pose . La suite est bornée par .

J'étudie dans le livre : Analyse MPSI 1ère année Gilles Costantini y a quelques coquilles mais le cours est généralement très bien expliqué contrairement à certains auteurs.

Bah le cours dis que :
Donc ici vu que : ça donne : non ?
Si on prend ça simplifie le problème et on a juste la condition : c'est ça ?

Je comprends pas comment vous passez de :
à

Je comprends toujours pas pourquoi :

[mehdi-128]

Bonjour,

comme le disait Pseuda, est inutile, tu peux le remplacer par et la preuve fonctionne très bien.

L'idée étant :

- je contrôle (= majore) à partir d'un certain rang , car la suite est de Cauchy
- je contrôle jusqu'au rang , car il y a un nombre fini de termes

donc la suite est bornée (attention à ne pas oublier les valeurs absolues sinon la preuve est fausse)

J'ai pas compris comment on contrôle jusqu'au rang avec le Max

[Pseuda]

Il faudrait savoir. Ce que dit le livre a changé entre-temps. Sinon :

Si p et n sont des entiers, p > n est équivalent à p >= n+1.

Si a, b et c sont des réels, |a-b| < c => |a| < |b| + c (car ||a|-|b|| <= |a-b|).

[mehdi-128]

Il faudrait savoir. Ce que dit le livre a changé entre-temps. Sinon :

Si p et n sont des entiers, p > n est équivalent à p >= n+1.

Si a, b et c sont des réels, |a-b| < c => |a| < |b| + c (car ||a|-|b|| < |a-b|).

Ok pour le premier point.

J'ai pas compris ce que vous avez fait avec les valeurs absolues

Comment on passe de : à

On peut pas enlever la valeur absolue sur car on sait pas le signe de

[Mimosa]

Bonjour

Comme , on a donc .
En recommençant avec , on trouve .

[LB2]

Je comprends pas comment vous passez de :
à

Cela découle de l'inégalité triangulaire. Il faut comprendre que pour deux réels et , s'interprète comme la distance entre et (évident sur un axe réel).

Plus précisément, la fonction
est une distance, c'est à dire qu'elle vérifie les propriétés de symétrie, de séparation et d'inégalité triangulaire.
Cette dernière propriété s'écrit
On obtient l'inégalité demandée avec et

Je comprends toujours pas pourquoi :

Tous les termes où sont majorés en valeur absolue par d'après ce qui précède. Donc défini de cette manière majore bien tous les

Cordialement

[mehdi-128]

Bonjour

Comme , on a donc .
En recommençant avec , on trouve .

Merci j'ai capté

Donc j'ai :

D'où :

Soit :

[mehdi-128]

@LB2

D'accord

Pour tout les termes sont majorés par .

Et les termes pour on les majore par quoi ?

Comment on est sûr que les termes , ..., seront majorés ? Pourquoi on prend le Max ?
C'est cette partie qui m'a posé des difficultés.

[LB2]

ben justement, regarde comment on a défini M ...

[mehdi-128]

ben justement, regarde comment on a défini M ...

Je dirais on majore chaque terme par lui même pour ?



.
.
.

[LB2]

Connais tu la définition du maximum de 10 nombres?

[mehdi-128]

Connais tu la définition du maximum de 10 nombres?

Le plus grand des 10 nombres.

[LB2]

Donc que penses tu de M tel qu'il est défini?

[mehdi-128]

M est le plus grand des nombres suivants :



Après j'avoue que j'ai pas trop compris pourquoi on prend le plus grand de ces nombres

[pascal16]

tu majore la suite en deux fois :
pour n>N, les termes sont proches, on en trouve un majorant
pour n<N, les termes sont majorés par une second majorant car en nombre finis.

majorer la suite, c'est prendre le plus grand des deux