Toute suite de Cauchy est elle convergente?

[liryck]

Bonsoir,
ce matin, nous avons vu en cours d'analyse (L2 mathématique) que toute suite convergente est de Cauchy et que la réciproque est fausse.
Cependant toute suite de Cauchy est bornée. D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass toute suite bornée admet une sous suite convergente et donc une valeur d'adhérence. Or on peut facilement démontrer que si une suite de Cauchy admet une valeur d'adhérence, elle est convergente. J'ai donc fait une erreur dans mon raisonnement pouvez vous m'aider à la trouver?

[Archytas]

Quand on parle de convergence il faut préciser où. En effet toute suite de Cauchy sera convergente mais pas forcément dans ton espace (en réalité l'espace en question s'appellera le complété de ton premier espace). Tu peux considérer la suite de fonctions continues fn(x)=x^n de [0,1] dans lui même. Cette suite converge en norme L^1 vers la fonction nulle sur [0,1[ et en 1 on sait pas. En revanche dans l'espace fonction seulement continues par morceaux fn converge. Tu comprends? En plus Bolzano ne s'applique pas en dimension infinie puisque borné n'implique pas forcément précompact.
En fait ce qui nous intéresse pour les suites de Cauchy c'est de savoir si elle vont converger DANS ton espace. Si ce n'est pas le cas ton espace n'est pas complet et de manière informelle il y a des trous dedans. L'avantage des suites de Cauchy est aussi qu'elles permettent de définir la convergence sans la notion de limite. Quand on a des espaces assez compliqué et qu'on ne sait pas comment définir l'objet limite, on s'intéresse souvent aux suites de Cauchy.

[bolza]

Bonsoir,

Un espace dans lequel toutes suites de Cauchy converge est un espace complet.
c'est le cas de R par exemple.
Mais il existe des espaces métrique qui ne sont pas complet, comme Q muni de la distance usuelle par exemple,
certaines suite de cauchy dans Q converge vers un irrationnel et donc ne convergent pas dans Q.

[Skullkid]

Bonjour, pour enfoncer le clou, dans le raisonnement que tu présente dans ton premier post l'erreur c'est que Bolzanno-Weierstrass ne dit pas "toute suite bornée admet une valeur d'adhérence" mais "toute suite bornée dans admet une valeur d'adhérence dans ", et c'est pas n'importe quel espace (il est complet, cf posts précédents).

[zygomatique]

Bonsoir,

Un espace dans lequel toutes suites de Cauchy converge est un espace complet.
c'est le cas de R par exemple.
Mais il existe des espaces métrique qui ne sont pas complet, comme Q muni de la distance usuelle par exemple,
certaines suite de cauchy dans Q converge vers un irrationnel et donc ne convergent pas dans Q.

salut

c'est d'ailleurs une des constructions de R à partir de Q : on a construit R pour boucher les trous de Q ...

voir par exemple la classique suite de Babylone à éléments rationnels qui converge vers racine(2) ::
https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9th ... H%C3%A9ron

[liryck]

Merci beaucoup à tous, je comprend mieux maintenant, tout est devenu plus cohérent .