Théorèmes de Cauchy Peano et Cauchy Lipschitz

[Trident]

Bonsoir à tous.

Soit un ouvert de et une application continue. Soit dans et soit le problème de Cauchy

On a le résultat suivant :

Une fonction ( intervalle de ) est une solution de si et seulement si elle vérifie les deux conditions suivantes :

i) est continue sur et pour tout dans
ii) pour tout dans,

Donc j'en déduis que s'il existe un intervalle de sur lequel est continue, alors le problème possède au moins une solution. J'appelle cette application.

Le théorème de Cauchy Arzela Peano affirme que possède au moins une solution si est continue. La preuve utilise le théorème d'Arzela Ascoli et l'approximation de solutions par les méthodes d'Euler. Très bien. Ce n'est donc pas un résultat immédiat et ce n'est donc pas si facile que ça de voir qu'il existe un intervalle I sur lequel g est continue.

Cependant, j'ai l'impression que dans la démonstration du théorème de Cauchy Lipschitz (celle qui utilise le théorème du point fixe), on n'est amené à montrer que cette application est continue de façon négligée. Plus précisément :

Dans la preuve du théorème de Cauchy Lipschitz, on commence par prendre un cylindre de sécurité associé à (E) (ici désigne la boule fermé de centre et de rayon de ). On note ensuite l'ensemble des applications continues de dans . Puis on note l'application de dans associant à tout , la fonction définie par :

La première étape de la démonstration consiste à montrer que \phi est bien à valeurs dans . Il y a donc deux choses à démontrer :

i) que est à valeurs dans ,

ii) que est continue !

Le point i) est très bien détaillé en général mais dans toutes les preuves que je lis, le point ii) est à peine évoqué alors qu'il implique la conclusion du théorème de Cauchy Arzela Peano !!

Donc ma question est la suivante : est-ce que le fait que f soit supposé localement lipschitzienne en la deuxième variable implique très facilement l'existence de la solution au point de négliger le point ii) où est-ce que c'est un peu plus dur que ça ? Si oui, comment le montrer ?

[Doraki]

Donc tu demandes pourquoi si h est une fonction (continue) de [t0 ; t1] dans R^m alors l'application t -> intégrale de t0 à t de h(u) du , est continue ?

Par définition elle est dérivable (de dérivée h) donc a fortiori elle est continue ....

[Trident]

Je me suis un peu mal exprimé sur ma question. Mais merci quand même car je pense avoir réalisé ce qui n'allait pas.