Structures différentiables

[El_Gato]

Bonjour,

Il y a quelque chose que je ne comprends pas dans la définition d'une variété différentiable.

En général en mathématiques, quand deux structures sont "isomorphes", elles génèrent les mêmes morphismes.

Par exemple si X est un ensemble, T1 et T2 deux topologies homéomorphes sur X, les applications continues X --> R sont les mêmes pour les deux topologies.

Idem pour les groupes ou les anneaux etc.

Or cette règle simple ne semble pas s'appliquer pour les structures différentiables.

Prenez par exemple R, muni de la structure standard générée par l'atlas (R, Id). On obtient une variété différentiable, que j'appelle X1.
Munissons maintenant R de la structure différentiable générée par la carte . On obtient une structure différentiable X2.

X1 et X2 sont difféomorphes, car toutes les structures différentiables sur R sont difféomorphes.

Pourtant, l'application


n'est pas différentiable quand on muni R de X1, mais différentiable quand on munit R de X2.

Il y a vraiment un truc que je n'ai pas compris pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?

[redwolf]

Bonjour.

Je crois que ce que tu affirmes pour les autres structures n'est pas vrai non plus.
Une permutation quelconque de l'ensemble sous jacent transporte la structure en une structure isomorphe, mais les morphismes ne sont plus les mêmes (penser à un espace vectoriel dont l'origine est déplacée par la permutation). Les morphismes sont eux aussi "transportés".

[redwolf]

Pour l'exemple spécifique de la topologie, prenons un ensemble à trois éléments .
est une topologie.
en est une autre qui est homéomorphe à la première.
Mais les fonctions continues pour la première sont caractérisées par alors que pour la deuxième ce sont les fonctions telles que . Ce ne sont donc pas les mêmes.

[El_Gato]

Pour l'exemple spécifique de la topologie, prenons un ensemble à trois éléments .
est une topologie.
en est une autre qui est homéomorphe à la première.
Mais les fonctions continues pour la première sont caractérisées par alors que pour la deuxième ce sont les fonctions telles que . Ce ne sont donc pas les mêmes.

Magnifique. Merci beaucoup.