Structures algebriques

[Charmander]

Bonjour,

Soit (G,.) un groupe et H et une partie finie non vide de G, stable par produit. Je dois montrer que H est un sous-groupe de G.

La question me paraît bizarre, car dans l'hypothèse de départ on a déjà 2 des 3 caractéristiques d'un sous-groupe (non vide et stable par produit). Il s'agirait donc de montrer la 3e, "tout élément de H possède un inverse par la loi . dans H" à partir des deux premières... Dans ce cas là quel est l'intérêt de cette 3e caractéristique si elle se déduit des 2 autres ?

Merci d'avance

[Doraki]

Parceque là tu as en plus supposé que H est fini.
Si tu ne supposes pas que H est fini, l'exercice devient faux, et donc la 3ème condition n'est pas une conséquence des 2 premières.

[Maxmau]

Bonjour,

Soit (G,.) un groupe et H et une partie finie non vide de G, stable par produit. Je dois montrer que H est un sous-groupe de G.

La question me paraît bizarre, car dans l'hypothèse de départ on a déjà 2 des 3 caractéristiques d'un sous-groupe (non vide et stable par produit). Il s'agirait donc de montrer la 3e, "tout élément de H possède un inverse par la loi . dans H" à partir des deux premières... Dans ce cas là quel est l'intérêt de cette 3e caractéristique si elle se déduit des 2 autres ?

Merci d'avance

Bj
dans ta remarque tu oublies que H est vide
pour la solution, une idée: H contient un élément a
considère l'application de H dans H qui à x associe ax

[Charmander]

Bj
dans ta remarque tu oublies que H est vide
pour la solution, une idée: H contient un élément a
considère l'application de H dans H qui à x associe ax

Ah oui, j'avais pas remarqué la condition H est finie.
Mais je ne vois toujours pas comment démontrer que tout élément de H a un inverse

[Maxmau]

Ah oui, j'avais pas remarqué la condition H est finie.
Mais je ne vois toujours pas comment démontrer que tout élément de H a un inverse

L'application x donne ax est une injection de H dans H donc une bijection puisque H est fini......