Structures algébriques

[Anonyme]

Bonsoir

Concernant les structures algébriques, je connais les définitions mais je n'en vois pas l'intérêt en pratique.
ex: pr les ev, le principale interet est l'existence de base à partir desquelles on peut tt connaitre...
pr les anneaux, il parait que la ppté la + interessante est le binome de Newton
Qu'en est-il pour les groupes, corps et algebres??

Merci

[redwolf]

Bonsoir.

On peut encore élargir la question : quel est l'intérêt en pratique de l'abstraction ?

La vie te montrera chaque jour l'intérêt de ces notions. Je pense qu'il n'est pas utile d'essayer de résumer toutes les mathématiques et la physique moderne en quelques lignes...

[abcd22]

ex: pr les ev, le principale interet est l'existence de base à partir desquelles on peut tt connaitre...

L'algèbre linéaire est utilisée dans des domaines autres que l'algèbre, par exemple quand on résout une équation différentielle linéaire homogène (on une relation de récurrence entre n termes consécutifs d'une suite) on dit que l'ensemble des solutions est un espace vectoriel et on en cherche une base. Pour résoudre des systèmes compliqués non-linéaires (EDP ?) il existe des méthodes de linéarisation qui permettent de simplifier les problèmes. Tout ce qui concerne la réduction des endomorphismes (diagonalisation, triangularisation), et aussi les décompositions LU, TU... est très utilisé pour la résolution d'équations.

pr les anneaux, il parait que la ppté la + interessante est le binome de Newton
Qu'en est-il pour les groupes, corps et algebres??

Les groupes servent en arithmétique, vous avez dû voir ça (Z/nZ).
Les groupes apparaissent naturellement si on étudie les transformations qui laissent invariant un polygone/polyèdre régulier, ça intervient en physique dans l'étude de la structure de la matière.
Les groupes et les corps permettent d'étudier la résolubilité d'équations polynomiales (groupe qui permute les racines d'un polynôme, c'est en étudiant cela qu'Évariste Galois a posé les bases de la théorie des groupes), c'est tout ce qui concerne la théorie de Galois...
Les structures algébriques sont aussi utilisées en géométrie (c'est la géométrie algébrique), si on a une courbe dans le plan par exemple, on peut (enfin, pas toujours) lui associer une algèbre (algèbre des fonctions régulières sur cette courbe), et à chaque point on peut associer un anneau, l'étude des propriétés algébriques dans les anneaux et algèbres permet de connaître les propriétés de la courbe (points multiples, points « singuliers »...).
Il y a plein d'autres utilisations de ces structures que j'oublie ou que je ne connais pas... Enfin bref ce sont des notions très utilisées même si on ne peut que difficilement s'en rendre compte quand on commence leur étude.