Structure de groupe topologique sur l'hypersphère

[Nightmare]

Bonsoir :happy3:

Je viens de résoudre (non sans mal... ) un exercice qui consiste à montrer que l'hypersphère ne peut pas être munie d'une structure de groupe topologique.

En gros l'exercice est le suivant :

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1) On montre que :

(conséquence du théorème de Künneth)

2) On en déduit que si l'on considère un générateur g du module de cohomologie de Rham de l'hypersphère de faisceaux de corps R associé à l'hypersphère, une application continue vérifie où (apparemment, c'est ce qu'on appelle les degrés de l'application)

3) On montre que si l'on considère une multiplication continue sur l'hypersphère et un élément neutre, alors on a en même temps et ce qui est absurde

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Bref, ma question est de savoir si on a pas une preuve plus simple pour montrer qu'on ne peut pas munir l'hypersphère de dimension paire d'une structure de groupe topologique, car tout ça me semble être compliqué pour rien :marteau:

Merci :happy3:

[Nightmare]

J'ai écrit une bêtise pour le 2)

Ce n'est pas vrai pour tous les générateurs mais pour un en particulier.

Si l'on considère l'homomorphisme de faisceau alors convient.

[skilveg]

Il me semble que déterminer les pour lesquels peut être munie d'une structure de groupe topologique est un problème difficile, mais je n'en sais pas beaucoup plus.

Pour le cas de la dimension paire, est-ce qu'il n'y aurait pas un rapport avec le théorème de la boule chevelue?

[Nightmare]

Salut skilveg :happy3:

Peut être ! Cependant je vois pas trop comment appliquer la boule chevelue ici ...

Pour ce qui est des cas n impair, je ne pensais pas que c'était si difficile, déjà, démontrer que peut être munie d'une structure de groupe topologique n'est pas trivial...

[skilveg]

démontrer que peut être munie d'une structure de groupe topologique n'est pas trivial...

Enfin ce n'est pas si dur, vu que c'est l'ensemble des quaternions de norme 1.

Edit: j'ai trouvé ça sur la toile, je ne l'ai pas lu mais ça va peut-être t'intéresser:
http://www.unizar.es/acz/05Publicaciones/Revistas/Revista62/p075.pdf