Et si on remplace métrique par topologique ?

par **Zapata** » 27 Déc 2007, 12:46

J'ai vérifié, effectivement, dans un espace compact, une suite qui ne possède qu'une valeur d'adhérence converge vers elle.
Maintenant on sait qu'on peut élargir un peu le théorème qui devient donc :

Soit X un esp. topo., si une suite x"indice n" n'admet qu'un point d'accumulation (ou valeur d'adhérence, la définition est la même), alors il existe une sous suite qui converge vers x.

Mais peut-on supprimer l'hypothèse "une seule valeur d'adhérence" ? J'aimerai avoir un contre-exemple ou une démonstration... syouplé... :-D

par **legeniedesalpages** » 27 Déc 2007, 12:57

Zapata a écrit:Maintenant on sait qu'on peut élargir un peu le théorème qui devient donc :

C'est bizarre, j'ai l'impression que tu n'as peu une étude des espaces compact dans un espace topologique mais seulement dans un espace métrique.

par **legeniedesalpages** » 27 Déc 2007, 12:59

Zapata a écrit:J'ai vérifié, effectivement, dans un espace compact, une suite qui ne possède qu'une valeur d'adhérence converge vers elle.
Maintenant on sait qu'on peut élargir un peu le théorème qui devient donc :

Soit X un esp. topo., si une suite x"indice n" n'admet qu'un point d'accumulation (ou valeur d'adhérence, la définition est la même), alors il existe une sous suite qui converge vers x.

Mais peut-on supprimer l'hypothèse "une seule valeur d'adhérence" ? J'aimerai avoir un contre-exemple ou une démonstration... syouplé...

Non dans un espace topologique c'est pas la même.

si on prend la suite constante qui vaut 1 dans IR, elle n'a aucun point d'accumulation, elle a cependant une valeur d'adhérence:1.

par **Zapata** » 27 Déc 2007, 13:47

legeniedesalpages a écrit:Non dans un espace topologique c'est pas la même.

si on prend la suite constante qui vaut 1 dans IR, elle n'a aucun point d'accumulation, elle a cependant une valeur d'adhérence:1.

Ah, ben là on a un problème de définition alors ! Parce que dans le cours que j'ai reçu, on dit que x est un point d'accumulation ou valeur d'adhérence d'une suite si pour tout voisinage V de x et pour tout N IN, il existe n;)N tq x"indice n" V. C'est bien une définition dans les espaces topo puisqu'elle ne fait pas appel à une notion de distance.

On a étudié la compacité dans le cadre des espaces topologiques, mais le théorème qui est la raison de ce post est un des seuls à être restreint aux espaces métriques, je voulais donc savoir si c'était parce qu'on ne pouvait pas l'élargir et si c'est le cas, avoir un contre-exemple.

par **legeniedesalpages** » 27 Déc 2007, 17:25

Zapata a écrit:Ah, ben là on a un problème de définition alors ! Parce que dans le cours que j'ai reçu, on dit que x est un point d'accumulation ou valeur d'adhérence d'une suite si pour tout voisinage V de x et pour tout N IN, il existe n;)N tq x"indice n" V. C'est bien une définition dans les espaces topo puisqu'elle ne fait pas appel à une notion de distance.

On a étudié la compacité dans le cadre des espaces topologiques, mais le théorème qui est la raison de ce post est un des seuls à être restreint aux espaces métriques, je voulais donc savoir si c'était parce qu'on ne pouvait pas l'élargir et si c'est le cas, avoir un contre-exemple.

ok oui il y a un souci sur la définition. Pour moi un point d'accumulation x d'une suite doit contenir un terme de la suite distinct de x.

Donc il me semble que pour une valeur d'adhérence on peut généraliser, mais pas pour un point d'accumulation. Je suis pas sûr.

Tu peux essayer de voir en reprenant la démo du cours en essayant de l'adapter et voir où ça peut clocher. M'enfin tu l'as peut être déjà fait.

par **Zapata** » 27 Déc 2007, 21:24

Bien sur j'ai déjà essayé, avant de demander j'essaie un peu tout de même...
Mais j'y suis pas arrivé, en effet, la démonstration est très simple, on construit la sous-suite convergente vers x de cette manière : on prend comme terme x"indice n indice k" un de ceux qui se situent dans la boule de centre x (qui est valeur d'adhérence) et de rayon 1/k et on procède par récurrence... mais elle fait appel à la notion de distance avec le rayon de la boule. Et je ne vois pas comment "s'approcher" de x sans cette notion, c'est à dire en utilisant seulement la notion de voisinage des espaces topologiques.

par **legeniedesalpages** » 27 Déc 2007, 21:48

Si on a un espace compact , alors toute suite de qui admet un point d'accumulation admet une sous-suite convergente vers .

ok tu veux montrer ça, je ne sais pas si c'est vrai.

par **Zapata** » 27 Déc 2007, 22:15

Oui voilà ! je veux démontrer ça... Ou trouver un contre-exemple dans le cas ou c'est faux !
C'était pas clair ma question depuis le début ? Dis-le moi car si c'était pas clair, j'essaierai de mieux m'exprimer la prochaine fois...
Ben en tout cas merci pour ton aide ! Si quelqu'un peut toutefois répondre à ma question... (moi qui avait un peu peur de me faire remballer dès le début, genre "ah ouais mais c'est ultrafacile") !

par **legeniedesalpages** » 27 Déc 2007, 22:23

Zapata a écrit:Oui voilà ! je veux démontrer ça... Ou trouver un contre-exemple dans le cas ou c'est faux !
C'était pas clair ma question depuis le début ? Dis-le moi car si c'était pas clair, j'essaierai de mieux m'exprimer la prochaine fois...
Ben en tout cas merci pour ton aide ! Si quelqu'un peut toutefois répondre à ma question... (moi qui avait un peu peur de me faire remballer dès le début, genre "ah ouais mais c'est ultrafacile") !

ce qui est perturbant surtout c'est cette histoire de points d'accumulation, où on a pas les mêmes définitions.

Après je manque de recul pour voir si ça marche ou pas (si il faut trouver un contre-exemple, ce serait dans une topologie un peu compliqué vu qu'elle devrait être séparée (car compact) et non métrisable, et j'en vois pas souvent).

Ce qui est bête, je pense c'est de ne pas se poser de questions

par **ThSQ** » 27 Déc 2007, 22:50

Zapata a écrit:Oui voilà ! je veux démontrer ça... Ou trouver un contre-exemple dans le cas ou c'est faux !

C'est faux.

muni de la convergence simple est un contrex je crois bien.

par **legeniedesalpages** » 27 Déc 2007, 22:56

ThSQ a écrit:C'est faux. muni de la convergence simple est un contrex je crois bien.

ce que je crois aussi, mais j'arrive pas à trouver un contre-exemple.

par **ThSQ** » 27 Déc 2007, 22:59

legeniedesalpages a écrit:ce que je crois aussi, mais j'arrive pas à trouver un contre-exemple.

C'est compact donc "limit point compact" (toujours vrai). Il suffit de trouver une suite sans sous-suite cv : f_n(x) = niéme décimale de x conviendrait bien :id:

par **legeniedesalpages** » 27 Déc 2007, 23:00

ThSQ a écrit:C'est compact donc "limit point compact" (toujours vrai). Il suffit de trouver une suite sans sous-suite cv : f_n(x) = niéme décimale de x conviendrait bien :id:

c'est quoi que t'appelles "limit point compact" ??? :hein: :marteau: :doh:

par **Zapata** » 28 Déc 2007, 00:16

legeniedesalpages a écrit:ce qui est perturbant surtout c'est cette histoire de points d'accumulation, où on a pas les mêmes définitions.

Après je manque de recul pour voir si ça marche ou pas (si il faut trouver un contre-exemple, ce serait dans une topologie un peu compliqué vu qu'elle devrait être séparée (car compact) et non métrisable, et j'en vois pas souvent).

Ce qui est bête, je pense c'est de ne pas se poser de questions

Oulà par contre je suis pas d'accord avec toi, un espace compact n'est pas forcément séparé, contre-exemple : ({0,1} muni de la topologie grossière) est compact mais pas séparé.

ThSQ, tu peux un peu détailler s'il te plaît ?
Je ne vois pas ce qu'est l'espace [0;1]^{[0;1]} ni la topologie "convergence simple", quels en sont les ouverts ? Merci ! :++:

par **legeniedesalpages** » 28 Déc 2007, 00:32

Oulà par contre je suis pas d'accord avec toi, un espace compact n'est pas forcément séparé, contre-exemple : ({0,1} muni de la topologie grossière) est compact mais pas séparé.

ça dépend en fait il y a deux choix de définitions possibles. Moi j'ai choisi-celle qui dit qu'un espace compact est séparé, apparemment tu as choisi celle qui ne prend pas en compte la séparation (cf l'article de wiki: http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_compact ).

par **legeniedesalpages** » 28 Déc 2007, 00:52

Zapata a écrit:ThSQ, tu peux un peu détailler s'il te plaît ?
Je ne vois pas ce qu'est l'espace [0;1]^{[0;1]} ni la topologie "convergence simple", quels en sont les ouverts ? Merci ! :++:

La convergence simple sur

, j'avais déjà donnée sa définition dans ce post (message #42): http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=38684&page=5&pp=10

par **ThSQ** » 28 Déc 2007, 08:55

legeniedesalpages a écrit:c'est quoi que t'appelles "limit point compact" ??? :hein: :marteau: :doh:

http://en.wikipedia.org/wiki/Weakly_countably_compact

Je ne sais pas comment on dit en français !

par **ThSQ** » 28 Déc 2007, 08:59

Zapata a écrit:un espace compact n'est pas forcément séparé, contre-exemple

En français compact = séparé + propriété sur les recouvrements par les ouverts !
En anglais non .....

par **SimonB** » 29 Déc 2007, 02:38

f_n(x)=cos(2\Pi nx) convient, également.

Et si on remplace métrique par topologique ?

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