Et si on remplace métrique par topologique ?

[Zapata]

Bonjour !

Si on a un espace métrique compact X, alors toute suite de X qui admet un point d'accumulation x admet une sous-suite convergente vers x.

Je voulais savoir s'il était possible de généraliser ce théorème en supprimant l'hypothèse métrique par topologique (donc qu'il soit valable pour des espaces topologiques non métrisables).

Il faut savoir qu'une suite converge vers x dans un espace topologique si, pour tout voisinage V de x, il existe N € IN tq pour tout n;)N, x "indice n" € V.
Merci !

[legeniedesalpages]

salut,

oui ça marche toujours du moment que ta suite comporte une infinité de termes distincts me semble-t-il.

Je crois que c'est la réciproque qu'on perd, à vérifier.

[sandrine_guillerme]

Salut,

Indication : Borel-Lebesgue

[ThSQ]

La caractéristique dont tu parles s'appelle la compacité séquentielle, Zapata.

En toute généralité il n'y a pas de lien (style l'un implique l'autre) entre compacité et compacité séquentielle (les contrex sont délicieusement tordus).

[sandrine_guillerme]

La caractéristique dont tu parles s'appelle la compacité séquentielle, Zapata.

En toute généralité il n'y a pas de lien (style l'un implique l'autre) entre compacité et compacité séquentielle (les contrex sont délicieusement tordus).

?? comprends pas ??

il me semble qu'il y a justement un lien, voir thm de Borel-Lebesgues

[legeniedesalpages]

La caractéristique dont tu parles s'appelle la compacité séquentielle, Zapata.

En toute généralité il n'y a pas de lien (style l'un implique l'autre) entre compacité et compacité séquentielle (les contrex sont délicieusement tordus).

mais il me semble que si on remplace "point d'accumulation" par valeur d'adhérence, il y a un lien, non?

[ThSQ]

thm de Borel-Lebesgues

Borel-Lebesgues c'est dans le cas métrique seulement non ?

[ThSQ]

mais il me semble que si on remplace "point d'accumulation" par valeur d'adhérence, il y a un lien, non?

Vi, compact => "limit point compact"


La topologie, c'est trop bien :happy2:

[legeniedesalpages]

"limit point compact"

Comprend pas :marteau:

La topologie, c'est trop bien :happy2:

Toutafé d'accord

[sandrine_guillerme]

Borel-Lebesgues c'est dans le cas métrique seulement non ?

Il me semble que non, ça s'applique pour un espace topologique quelconque

vous en faites de la topo en sup ?

[legeniedesalpages]

Il me semble que non, ça s'applique pour un espace topologique quelconque

vous en faites de la topo en sup ?

C'est pas ce qu'a l'air de dire le Gustave Choquet.

je pense que ThSQ ne se limite pas au programme de sup. Je trouve qu'il a un niveau supra-délirant lol.

[ThSQ]

Il me semble que non, ça s'applique pour un espace topologique quelconque

Oui pardon je pensais à Bolzano-Weierstras vu le contexte.

Je vois pas bien le rapport entre les suites et Borel-Lebesgue (qui est la définition d'un compact dans le cas général il me semble bien) ??

[legeniedesalpages]

Ah oui d'accord le théorème de Heine-Borel-Lebesgue dans IR est en fait la définition de la compacité, ok.

[legeniedesalpages]

Un petit topo:


Dans un espace compact E,

toute suite de points possède une valeur d'adhérence; si elle en a qu'une elle converge vers cette valeur.

Toute partie infinie A de E a au moins un point d'accumulation.


Si E est métrique, on a équivalence entre ces 4 points:

1) E compact;
2) toute suite infinie de points de E a au moins une valeur d'adhérence
3) toute suite infinie de points de E contient une suite extraite convergente;
4) toute partie infinie de E a au moins un point d'accumulation.

[Zapata]

Un petit topo:

Elle est bien bonne celle là :ptdr: :ptdr: :ptdr:

Je suis tout à fait d'accord avec ceci :

"Dans un espace compact E, toute suite de points possède une valeur d'adhérence"
"Un valeur d'adhérence est un point d'accumulation" et certaines autres implications que tu cites dans le cadre des espaces métriques.

D'après ce que tu dis, on peut remplacer l'hypothèse métrique par topologique moyennant le fait que la suite n'aie qu'une valeur d'adhérence ?

Cela signifie que dans le cas d'un espace topo non métrisable, une suite qui possède plus d'une valeur d'adhérence n'a pas nécessairement de sous-suite convergente ?

[legeniedesalpages]

D'après ce que tu dis, on peut remplacer l'hypothèse métrique par topologique moyennant le fait que la suite n'aie qu'une valeur d'adhérence ?

Non il me semble en fait que l'on gagne 2 => 1 quand on passe de topologique à métrique.

[legeniedesalpages]

"Un valeur d'adhérence est un point d'accumulation"

je ne crois pas avoir dit ça, et je suis pas sûr que ce soit vrai.

par exemple si on prend , 2 est une valeur d'adhérence, mais pas un point d'accumulation me semble-t-il.

[legeniedesalpages]

par contre oui j'ai mal lu,

les valeurs d'adhérence d'une suite coincide avec ses points d'accumulation dans le cadre d'un espace métrique (et même peut etre pour les espaces qui admettent une base locale dénombrables de voisinages ouverts en chacun de ses points, à voir).

[Zapata]

Tu dis ceci :

Un petit topo:


Dans un espace compact E,

toute suite de points possède une valeur d'adhérence; si elle en a qu'une elle converge vers cette valeur.

Donc, si cette suite n'a qu'une valeur d'adhérence x, il existe une sous-suite (qui est en fait la suite "d'origine", vu que celle-ci converge vers x) qui converge vers cette valeur, non ?
Donc tu échanges bien "métrique" contre "topologique avec une seule valeur d'adhérence".

[legeniedesalpages]

Tu dis ceci :

Donc, si cette suite n'a qu'une valeur d'adhérence x, il existe une sous-suite (qui est en fait la suite "d'origine", vu que celle-ci converge vers x) qui converge vers cette valeur, non ?
Donc tu échanges bien "métrique" contre "topologique avec une seule valeur d'adhérence".

oui, c'est ça.