Span et sous espace vectoriel

[Vitlia]

Bonjour,
Je suis en pleine période de révisions et deux propriétés ne me sont pas très claires:

1) X est un sous espace vectoriel de V si et seulement si Span(X)=X

2) X et W sont deux sous espaces vectoriels de V, alors X+W est "le plus petit" sous espace vectoriel qui contient l'union de X et W. On peut écrire:

X+W=Span(XUW)


Quelqu'un connait-il la démonstration de ces 2 propriétés afin que je puisse comprendre pourquoi il en est ainsi ?

Merci d'avance,
Vitlia.

[adrien69]

Pour la première, il suffit de lire autrement.

X est un sous-espace vectoriel si et seulement si X est le plus petit espace vectoriel contenant X (c'est ce que veut dire span)

Pour la seconde, c'est à peine plus délicat.

Bien entendu X+W est un sev qui contient X et W, et donc leur union. Comme le span de l'union est le plus petit sev vérifiant cette propriété, span(X union W) est inclus dans X+W.

Réciproquement, comme span(X union W) est l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de X et de W, clairement, il contient tout élément de la forme x+w. Donc il contient X+W.

[Vitlia]

Parfait, j'ai compris. Merci pour la réponse courte et précise. :)