Rockleader a écrit:Ma question est simple, je sais que pour démontrer qu'un corps X est un espace vectoriel il faut que e corps satisfasse les 8 propriété de base (commutativité, etc etc)
Maintenant comment montrer qu'un corps Y est un sous espace vectoriel ? C'est quelque chose qui me pose énormément problème.
Si X est un espace vectoriel j'aurais tendance à dire que Y est un sous espace vectoriel uniquement si
YcX pour tout élément de Y. Mais dans mes corrigés je ne vois rien de tel.
Par ailleurs; on peut nous demander de montrer que Y est un sous espace vectoriel sans nous dire par rapport à un ensemble déjà défini; auquel cas est ce que la méthode reste la même ou pas ?
Bref, j'ai surement raté une partie du cours là dessus, aussi excusez moi si c'est quelque chose de simple; mais pour l'instant je ne comprends pas, je viens donc quémander votre aide.
Merci d'avance.
(Je ne pourrais pas répondre à déventuelles questions avant 15h30)
Doraki a écrit:J'ai absolument rien compris à cette phrase.
Rockleader a écrit:
Sinon, je suppose que ce que tu n'as pas compris c'est le YcX je voulais dire si Y est inclus dans X.
L'ensemble F = {p appartenant à R_2 [x]; p(5)=0} des polynômes de degré au plus 2 qui prennent la valeur 0 en x=5, est il un sev de R_2[x] ?
Comment procéder sur cet exemple ?
Rockleader a écrit:Premièrement que l'ensemble ne soit pas vide, ce que j'ai fait plus haut.
C'est pour la seconde étape que j'ai du mal.
Archytas a écrit:L'utilité d'utiliser des sous-espaces vectoriels est de ne pas avoir à refaire les 8 étapes. Premièrement le fait que ton ensemble soit inclu dans un espace vectoriel dont on sait que c'est un espace vectoriel te permet de savoir que d'une part que '+' est commutatif tu as aussi l'associativité etc... bref il te manque plus qu'à savoir si le neutre est dedans et que ton ensemble est stable par l'addition soit :
que le neutre est dans ton ensemble et que le produit est interne :
Ce qui est équivalent à montrer que ton ensemble est non vide et que !
Rockleader a écrit:D'accord; mais par rapport à on exemple, que représente k,x,y ?
PS: J'ai compris grâce à ce post pourquoi on ne refait pas la totalité des huit propriété pour un sous espace.
C'est aussi la raison pour laquelle on ne nous demandera pas de démontrer qu'un corps est un espace vectoriel, parce qu'il faudrait tout refaire. Alors que le raisonnement ets le même pour un sous espace vectoriel.
Rockleader a écrit:Si J'ai bien compris, je pose: P et Q deux polynomes de l'ensembles F
P et Q satisfont donc P(5)=Q(5)=0
Je pose H = k*P(x)+ Q(x) = 0 pour x = 5
On dit que H est un polynome de R_2 qui satisfait les conditions de l'ensemble F.
Donc F est un sous espace vectoriel de R_2
C'est le bon raisonnement, si oui je n'ai juste pas tout à fait compris pourquoi l'on peut dire que H est un polynôme de R_2[X].
Archytas a écrit:Non pour tout x on pose H(x) = k*P(x) + Q(x) (ce qui est équivalent à dire tout simplement H=kP+Q) et oui il faut dire que ce sont des polynômes quelconque de F. Et H est un polynôme de R_2[X] car c'est une somme de polynômes de R_2[X] qui est lui même un espace vectoriel donc interne pour l'addition et le produit par un scalaire !
Archytas a écrit:En voici deux :
E = { } et
F ={ }
Rockleader a écrit:Je remarque que tu ne dis pas par rapport à quoi il faut montrer que E et F sont des sev.
Mais je suppose que pour la démarche ce nest pas vraiment important.
Premièrement: vérifions que F n'est pas non vide. Il existe P appartenait à F tel que
P(0)=P(1)=P(2)=P(3)
==> F nest pas vide.
Deuxièmement:
Soit, S(x),Q(x) appartenait à F
tel que
S(0)=S(1)=S(2)=S(3)
Q(0)=Q(1)=Q(2)=Q(3)
et k un réel appartenant à R.
On pose H(x) = k.S(x)+Q(x)
H est un polynôme de R_4 car S et Q appartiennent à R_4
==> F est un sev
Est ce que cest bon pour celui ci ?
Archytas a écrit:En voici deux :
E = { } et
F ={ }
Rockleader a écrit:Pour le second (E) je ne comprends pas pourquoi il y a deux équations. Je vais donc traiter comme s'il n'y avait qu'une seule équation. Si on considérait que E ne contenait que la première équation, ce que je vais est il juste ?
Soit ß appartenant à R
U1(x1,y1,z1,t1) appartenant à E et U2 (x2,y2,z2,t2) appartenant à E.
x1 -3y1+2z1+t1 = 0
x2 -3y2+2z2+t2 = 0
ßU1+U2 = ß(x1 -3y1+2z1+t1) + (x2 -3y2+2z2+t2) = 0e
Donc l'élément neutre est compris dans E et la propriété ßU1+U2 est vérifié.
E est donc un sev de R^4
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