Espace Vectoriel / Sous espace Vectoriel

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Rockleader
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Espace Vectoriel / Sous espace Vectoriel

par Rockleader » 19 Fév 2013, 15:00

Ma question est simple, je sais que pour démontrer qu'un corps X est un espace vectoriel il faut que e corps satisfasse les 8 propriété de base (commutativité, etc etc)


Maintenant comment montrer qu'un corps Y est un sous espace vectoriel ? C'est quelque chose qui me pose énormément problème.

Si X est un espace vectoriel j'aurais tendance à dire que Y est un sous espace vectoriel uniquement si
YcX pour tout élément de Y. Mais dans mes corrigés je ne vois rien de tel.

Par ailleurs; on peut nous demander de montrer que Y est un sous espace vectoriel sans nous dire par rapport à un ensemble déjà défini; auquel cas est ce que la méthode reste la même ou pas ?



Bref, j'ai surement raté une partie du cours là dessus, aussi excusez moi si c'est quelque chose de simple; mais pour l'instant je ne comprends pas, je viens donc quémander votre aide.


Merci d'avance.

(Je ne pourrais pas répondre à d’éventuelles questions avant 15h30)
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !



Archytas
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par Archytas » 19 Fév 2013, 15:20

Rockleader a écrit:Ma question est simple, je sais que pour démontrer qu'un corps X est un espace vectoriel il faut que e corps satisfasse les 8 propriété de base (commutativité, etc etc)


Maintenant comment montrer qu'un corps Y est un sous espace vectoriel ? C'est quelque chose qui me pose énormément problème.

Si X est un espace vectoriel j'aurais tendance à dire que Y est un sous espace vectoriel uniquement si
YcX pour tout élément de Y. Mais dans mes corrigés je ne vois rien de tel.

Par ailleurs; on peut nous demander de montrer que Y est un sous espace vectoriel sans nous dire par rapport à un ensemble déjà défini; auquel cas est ce que la méthode reste la même ou pas ?



Bref, j'ai surement raté une partie du cours là dessus, aussi excusez moi si c'est quelque chose de simple; mais pour l'instant je ne comprends pas, je viens donc quémander votre aide.


Merci d'avance.

(Je ne pourrais pas répondre à d’éventuelles questions avant 15h30)

Pour montrer que Y est un sous espace vectoriel il faut que :
-tu montres que Y est non vide (par exemple l'élément neutre est dedans)
-Et voilà !
Et dire que tous les éléments sont dedans ne suffit pas par exemple le singleton {1} appartient à R pourtant ça n'est pas un espace vectoriel !

Nightmare
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par Nightmare » 19 Fév 2013, 15:34

Salut,

tout d'abord, lorsqu'on parle d'espace vectoriels, il n'y a pas qu'un seul ensemble qui intervient mais deux : Le corps dans lequel on prend les scalaires et l'ensemble qui va être munit d'une structure d'espace vectoriel sur ce corps. Ainsi, même si l'on parle abusivement d'espaces vectoriels, implicitement on parle d'espace vectoriel sur un corps précis, et quand on change de corps la structure change. On parle du coup d'un K-espace vectoriel où K est un corps.

Un corps est naturellement muni d'une structure d'espace vectoriel sur lui même et sur ses sous-corps, mais les corps ne sont pas les seuls ensembles qui peuvent être munis d'une structure d'espace vectoriel : au minimum il faut être un groupe, et il faut que ce groupe puisse être munit d'une deuxième loi qui vérifie les axiomes nécessaires pour être un espace vectoriel sur un corps donné.

Ensuite, la notion de sous-structure fonctionne toujours de la même façon : Pour être un sous-machin d'un machin X, il faut soit même être un machin mais avec les même lois.

Ainsi, un sous-K-espace vectoriel d'un K-espace vectoriel E est un sous-groupe de E qui est lui même un K-espace vectoriel pour la même deuxième loi que E.

Doraki
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par Doraki » 19 Fév 2013, 15:39

Rockleader a écrit:Si X est un espace vectoriel j'aurais tendance à dire que Y est un sous espace vectoriel uniquement si
YcX pour tout élément de Y.

J'ai absolument rien compris à cette phrase.

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par Rockleader » 19 Fév 2013, 18:02

Doraki a écrit:J'ai absolument rien compris à cette phrase.



Pas la peine de poster si tu n'as pas compris alors =)

Sinon, je suppose que ce que tu n'as pas compris c'est le YcX je voulais dire si Y est inclus dans X.

Mais apparemment ce n’est pas la bonne façon de procéder.




J'ai bien pris note de ce que vous avez tous dis, certaines choses se sont éclairés; mais j'ai encore un peu de mal sur la pratique:

Par exemple, comment répondre à une question du type

L'ensemble F = {p appartenant à R_2 [x]; p(5)=0} des polynômes de degré au plus 2 qui prennent la valeur 0 en x=5, est il un sev de R_2[x] ?


Comment procéder sur cet exemple ?

Je peux commencer à dire par exemple que F n'est pas vide il existe au moins un p(x) = x-5 tel que p(5)=0



ET pour la suite comment fait on ?
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !

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par Nightmare » 19 Fév 2013, 18:26

Rockleader a écrit:
Sinon, je suppose que ce que tu n'as pas compris c'est le YcX je voulais dire si Y est inclus dans X.


Ce qui n'est pas compréhensible, c'est l'ajout de "pour tout élément de Y". Qu'entendais-tu par là? Y inclus dans X veut dire que tout élément de Y est inclus dans X. Donc ta phrase voulait dire "tout élément de Y est inclus dans X, pour tout élément de Y"





L'ensemble F = {p appartenant à R_2 [x]; p(5)=0} des polynômes de degré au plus 2 qui prennent la valeur 0 en x=5, est il un sev de R_2[x] ?


Comment procéder sur cet exemple ?


Comme pour tous les autres exemples : on revient à la définition d'un sous espace vectoriel. Que faut-il vérifier pour montrer qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel d'un autre?

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par Rockleader » 19 Fév 2013, 19:37

Premièrement que l'ensemble ne soit pas vide, ce que j'ai fait plus haut.

C'est pour la seconde étape que j'ai du mal.
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !

Archytas
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par Archytas » 19 Fév 2013, 19:44

Rockleader a écrit:Premièrement que l'ensemble ne soit pas vide, ce que j'ai fait plus haut.

C'est pour la seconde étape que j'ai du mal.

L'utilité d'utiliser des sous-espaces vectoriels est de ne pas avoir à refaire les 8 étapes. Premièrement le fait que ton ensemble soit inclu dans un espace vectoriel dont on sait que c'est un espace vectoriel te permet de savoir que d'une part que '+' est commutatif tu as aussi l'associativité etc... bref il te manque plus qu'à savoir si le neutre est dedans et que ton ensemble est stable par l'addition soit :

que le neutre est dans ton ensemble et que le produit est interne :

Ce qui est équivalent à montrer que ton ensemble est non vide et que !

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par Rockleader » 19 Fév 2013, 20:03

Archytas a écrit:L'utilité d'utiliser des sous-espaces vectoriels est de ne pas avoir à refaire les 8 étapes. Premièrement le fait que ton ensemble soit inclu dans un espace vectoriel dont on sait que c'est un espace vectoriel te permet de savoir que d'une part que '+' est commutatif tu as aussi l'associativité etc... bref il te manque plus qu'à savoir si le neutre est dedans et que ton ensemble est stable par l'addition soit :

que le neutre est dans ton ensemble et que le produit est interne :

Ce qui est équivalent à montrer que ton ensemble est non vide et que !



D'accord; mais par rapport à on exemple, que représente k,x,y ?




PS: J'ai compris grâce à ce post pourquoi on ne refait pas la totalité des huit propriété pour un sous espace.
C'est aussi la raison pour laquelle on ne nous demandera pas de démontrer qu'un corps est un espace vectoriel, parce qu'il faudrait tout refaire. Alors que le raisonnement ets le même pour un sous espace vectoriel.
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !

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par Archytas » 19 Fév 2013, 20:57

Rockleader a écrit:D'accord; mais par rapport à on exemple, que représente k,x,y ?




PS: J'ai compris grâce à ce post pourquoi on ne refait pas la totalité des huit propriété pour un sous espace.
C'est aussi la raison pour laquelle on ne nous demandera pas de démontrer qu'un corps est un espace vectoriel, parce qu'il faudrait tout refaire. Alors que le raisonnement ets le même pour un sous espace vectoriel.

Oui c'est vrai que c'est fastidieux mais il y a certain cas ou tu ne peux pas te reférer à un espace vectoriel de dimension supérieure connu, tu dois alors démontrer manuellement que c'est un espace vectoriel.
Pour ton exemple puisque tu es dans R_2 [X] k est un réel, x est un polynôme de ton ensemble et y aussi (dans ce cas c'est pas très adroit de les appeler x et y disons Q et P) !
Pour ton exemple tu cherches donc à savoir si H = k*P + Q est dans E. Pour cela il faut seulement calculer H(5) : H(5) = k*P(5)+Q(5) or P et Q sont dans E donc P(5)=Q(5)=0 donc H(5)=0 or H est un polynome de R_2 [X] donc H est dans E. Les deux conditions sont vérifiées, donc E est un sous espace vectoriel de R_2 [X]

PS : pour montrer que ton ensemble est non vide essai plutôt de voir si le neutre y est c'est souvent beaucoup plus simple et s'il n'y est pas tu peux directement en conclure que l'ensemble étudié n'est pas un espace vectoriel. Pour ton exemple le polynome nul est P=0. On a bien P(5)=0 donc ton ensemble est non vide. Et pour montrer l'efficacité de la méthode si tu prends l'ensemble des polynomes qui valent 1 en x=5, le polynome nul n'est pas dans cet ensemble donc ce n'est pas un espace vectoriel... Voilà, j'espère avoir été clair !

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par Rockleader » 19 Fév 2013, 21:13

Si J'ai bien compris, je pose: P et Q deux polynomes de l'ensembles F

P et Q satisfont donc P(5)=Q(5)=0

Je pose H = k*P(x)+ Q(x) = 0 pour x = 5

On dit que H est un polynome de R_2 qui satisfait les conditions de l'ensemble F.
Donc F est un sous espace vectoriel de R_2



C'est le bon raisonnement, si oui je n'ai juste pas tout à fait compris pourquoi l'on peut dire que H est un polynôme de R_2[X].
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !

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par Archytas » 19 Fév 2013, 23:02

Rockleader a écrit:Si J'ai bien compris, je pose: P et Q deux polynomes de l'ensembles F

P et Q satisfont donc P(5)=Q(5)=0

Je pose H = k*P(x)+ Q(x) = 0 pour x = 5

On dit que H est un polynome de R_2 qui satisfait les conditions de l'ensemble F.
Donc F est un sous espace vectoriel de R_2



C'est le bon raisonnement, si oui je n'ai juste pas tout à fait compris pourquoi l'on peut dire que H est un polynôme de R_2[X].

Non pour tout x on pose H(x) = k*P(x) + Q(x) (ce qui est équivalent à dire tout simplement H=kP+Q) et oui il faut dire que ce sont des polynômes quelconque de F. Et H est un polynôme de R_2[X] car c'est une somme de polynômes de R_2[X] qui est lui même un espace vectoriel donc interne pour l'addition et le produit par un scalaire !

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par Rockleader » 19 Fév 2013, 23:39

Archytas a écrit:Non pour tout x on pose H(x) = k*P(x) + Q(x) (ce qui est équivalent à dire tout simplement H=kP+Q) et oui il faut dire que ce sont des polynômes quelconque de F. Et H est un polynôme de R_2[X] car c'est une somme de polynômes de R_2[X] qui est lui même un espace vectoriel donc interne pour l'addition et le produit par un scalaire !



Ok, pour la démarche c'est bon.


Demain j'essaierais sur un autre exemple, je vais essayer d'en trouver un à faire...à moins que l'un d'entre vous en est un sous la main =)
Cette histoire est entièrement vraie puisque je l'ai inventé du début à la fin !

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par Archytas » 20 Fév 2013, 00:10

Rockleader a écrit:Ok, pour la démarche c'est bon.


Demain j'essaierais sur un autre exemple, je vais essayer d'en trouver un à faire...à moins que l'un d'entre vous en est un sous la main =)

En voici deux :
E = { } et
F ={ }

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par Rockleader » 20 Fév 2013, 00:29

Archytas a écrit:En voici deux :
E = { } et
F ={ }



Je remarque que tu ne dis pas par rapport à quoi il faut montrer que E et F sont des sev.

Mais je suppose que pour la démarche ce n’est pas vraiment important.

Premièrement: vérifions que F n'est pas non vide. Il existe P appartenait à F tel que

P(0)=P(1)=P(2)=P(3)
==> F n’est pas vide.

Deuxièmement:

Soit, S(x),Q(x) appartenait à F

tel que

S(0)=S(1)=S(2)=S(3)
Q(0)=Q(1)=Q(2)=Q(3)

et k un réel appartenant à R.


On pose H(x) = k.S(x)+Q(x)
H est un polynôme de R_4 car S et Q appartiennent à R_4

==> F est un sev



Est ce que c’est bon pour celui ci ?
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par Archytas » 20 Fév 2013, 12:28

Rockleader a écrit:Je remarque que tu ne dis pas par rapport à quoi il faut montrer que E et F sont des sev.

Mais je suppose que pour la démarche ce n’est pas vraiment important.

Premièrement: vérifions que F n'est pas non vide. Il existe P appartenait à F tel que

P(0)=P(1)=P(2)=P(3)
==> F n’est pas vide.

Deuxièmement:

Soit, S(x),Q(x) appartenait à F

tel que

S(0)=S(1)=S(2)=S(3)
Q(0)=Q(1)=Q(2)=Q(3)

et k un réel appartenant à R.


On pose H(x) = k.S(x)+Q(x)
H est un polynôme de R_4 car S et Q appartiennent à R_4

==> F est un sev



Est ce que c’est bon pour celui ci ?

Il faut que tu montres que H appartient à F.
Et lorsque tu dis qu'il existe un polynôme qui vérifie ça tu affirme sans rien démontrer. Aie le réflexe de voir si le polynome nul est dedans P=0 on a bien P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=0.
Et oui j'ai pas préciser pour le premier il faut montrer que c'est un sev de R^4 et l'autre un sev de R_4[X]

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par Rockleader » 20 Fév 2013, 15:10

Ce que je comprends pas c’est comment tu peux affirmer que P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=0.

Parce que ok, P appartient à R4[x] mais ça ne nous dis pas pourtant que 0 peut être obtenu avec P non ?


ET pour H(x) = k.S(x)+Q(x)

On sait que S et Q appartiennent à F.
Donc k.S appartient à F
K.S+Q appartient à F et donc H appartient à F.

Ce n'est pas suffisant de dire cela ? Comment faire alors ?
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par Rockleader » 20 Fév 2013, 16:15

Archytas a écrit:En voici deux :
E = { } et
F ={ }



Pour le second (E) je ne comprends pas pourquoi il y a deux équations. Je vais donc traiter comme s'il n'y avait qu'une seule équation. Si on considérait que E ne contenait que la première équation, ce que je vais est il juste ?


Soit ß appartenant à R
U1(x1,y1,z1,t1) appartenant à E et U2 (x2,y2,z2,t2) appartenant à E.

x1 -3y1+2z1+t1 = 0
x2 -3y2+2z2+t2 = 0

ßU1+U2 = ß(x1 -3y1+2z1+t1) + (x2 -3y2+2z2+t2) = 0e

Donc l'élément neutre est compris dans E et la propriété ßU1+U2 est vérifié.
E est donc un sev de R^4
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par Archytas » 20 Fév 2013, 18:28

Rockleader a écrit:Pour le second (E) je ne comprends pas pourquoi il y a deux équations. Je vais donc traiter comme s'il n'y avait qu'une seule équation. Si on considérait que E ne contenait que la première équation, ce que je vais est il juste ?


Soit ß appartenant à R
U1(x1,y1,z1,t1) appartenant à E et U2 (x2,y2,z2,t2) appartenant à E.

x1 -3y1+2z1+t1 = 0
x2 -3y2+2z2+t2 = 0

ßU1+U2 = ß(x1 -3y1+2z1+t1) + (x2 -3y2+2z2+t2) = 0e

Donc l'élément neutre est compris dans E et la propriété ßU1+U2 est vérifié.
E est donc un sev de R^4

Non en fait je considère l'ensemble des polynômes vérifiant P(1)=P(2)=P(3)=P(4) et je cherche à savoir si c'est un espace vectoriel. Pour cela je regarde s'il est non vide et je cherche si k*P+Q appartient à notre ensemble en gros si (k*P+Q)(1)=(k*P+Q)(2)=(k*P+Q)(3)=(k*P+Q)(4) et si oui c'est un ev ! Pour l'autre je considère l'ensemble des vecteurs de R^4 tels qu'ils vérifient ces deux équations ! Ce qui correspond à deux équations de plan dont l'intersection forme une droite dont on cherche si c'est un ev.

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par Rockleader » 20 Fév 2013, 20:46

Ok.


Je viens d'avoir mon partiel et je m'en suis pas trop mal tiré je pense. Je te remercie énormément pour ton aide pour m'avoir dégrossi certains points que j'avais du mal à comprendre.

Reste plus qu'à espérer que j'ai pas raconté trop de conneries :id:
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