Sous-espace vectoriel

[Lutinette18]

Bonjour,

j'ai du mal à voir la déduction suivante :

un sous-espace vectoriel dans un espace de dimension finie est fermé.

Merci!

[Nightmare]

Salut :happy3:

Eh bien tu sais que tout espace vectoriel de dimension n est homéomorphe à qui est complet (car produit fini de complet).
Par conséquent l'espace lui même est complet, donc fermé.

[busard_des_roseaux]

bjr,

1)
F (dim F=p) est fermé comme l'intersection des noyaux de n-p formes linéaires (continues)

ou

2) Soit p la projection orthogonale sur F.
l'application est continue et est l'image réciproque de l'ouvert

[ThSQ]

Eh bien tu sais que tout espace vectoriel de dimension n est homéomorphe à qui est complet (car produit fini de complet).
Par conséquent l'espace lui même est complet, donc fermé.

Mmmm, dit comme ça c'est faux. L'homéomorphe d'un espace complet n'est pas forcément complet (]-1;1[ est homéomorphe à IR par ex.), la complétude n'est pas une notion topologique. Par contre l'argument le plus simple est bien de dire qu'un sous-ev de dim finie est complet donc fermé.

[ThSQ]

Si d'aventures il y avait d'autres gravement typologico-dépendants :

[CENTER]Montrer que le résultat reste vrai dans un evt quelconque.[/CENTER]

[legeniedesalpages]

Mmmm, dit comme ça c'est faux. L'homéomorphe d'un espace complet n'est pas forcément complet (]-1;1[ est homéomorphe à IR par ex.), la complétude n'est pas une notion topologique. Par contre l'argument le plus simple est bien de dire qu'un sous-ev de dim finie est complet donc fermé.

mais ]-1,1[ n'est pas un ev.
Je vois pas ce que tu reproches à la formulation de jord :hein:

[ThSQ]

ce que tu reproches à la formulation de jord :hein:

C'est de dire que c'est complet parce que homéomorphe à un complet (ce qui est faux).

[legeniedesalpages]

C'est de dire que c'est complet parce que homéomorphe à un complet (ce qui est faux).

ok, merci.