Sous espace vectoriel

par **georgess** » 30 Déc 2007, 17:44

Bonsoir , j'ai l'exercice suivant :

Trouver une base du sous-espace F de R^5 déterminé par les équations :

x+y+z+t+u = 0
2x+3y+3z+t+u = 0

Alors voici où j'en suis :

Une base c'est bien une famille libre et génératrice , donc ici on peut dire que le vecteur v(0,0) est une base de ce sev .

Si j'écris le systeme sous forme matriciel ca donne :

x(1,2) + y(1,3) + z(1,3) + t(1,1) + u(1,1) = (0,0)

Je dois donc trouver parmi ces vecteurs lesquels forment un systeme libre et indépendant .

Si j'applique le pivot de gauss au systeme j'obtiens :

x+y+z+u+t = 0
y+z-u-t = 0

Je dois donc enlever des vecteurs pour trouver une famile libre et génératrice , j'enlève les 3 derniers :

x+y = 0
2x+3y = 0

Et là le système est libre et générateur , donc une base du sev peut etre u(1,2)+v(1,3) , qu'en pensez vous ?

merci

par **georgess** » 30 Déc 2007, 22:21

personne n'a une idée ?

par **georgess** » 30 Déc 2007, 22:52

je ne sais pas quelle est sa dimension , dans mon cours c'est noté :

la dimension d'un sev F de R^m est le nombre d'éléments de chacune de ses bases .

vu que ici je connais aucune base comment je peux déterminer la dimension ?

par **Argentoratum** » 30 Déc 2007, 23:00

georgess a écrit: le vecteur v(0,0) est une base de ce sev .

Erreur, (0,0) n'engendre rien et n'est donc pas une base.

Ensuite la dimension d'un espace vectoriel est le cardinal d'une de ses bases.

par **georgess** » 30 Déc 2007, 23:02

mais justement ici je n'ai aucune base et je ne sais meme pas ce que c'est un cardinal il ne l'explique pas dans le cours , peux tu m'éclairer ?

par **Argentoratum** » 30 Déc 2007, 23:13

Avec ce système il faut que tu montre que tu as une famille libre et génératrice.
Libre : en montrant que la seul possibilité d'avoir (0,0,0,0,0) est x=y=z=t=u=0.
Génératrice : en montrant que tout élément de R^5 s'écrit sous forme de combinaison linéaire.

par **georgess** » 30 Déc 2007, 23:16

tout ça je le sais et je pense que x = y = z = t = u = 0 est évident , ça fait bien 0 , avec le pivot de gauss on le voit , mais c'est quoi une cardinal et ici comment déterminer la dimension donc de ce sev ?

ensuite tu me dis de montrer que tout élément de R^5 s'écrit sous forme de combinaison linéaire , mais combinaison linéaire de quoi?

peux tu m'éclairer sur mes questions stp car c'est tjs aussi flou qu'au début pour moi , merci

par **Argentoratum** » 30 Déc 2007, 23:29

Au contraire, ce n'est pas évident, il faut le démontrer.
Soit E un ensemble, card(E) est le nombre d'éléments de E, sachant que chaque élément n'apparaît qu'une fois dans E.

Exemple : sur R^2, on choisit la base canonique B={(1,0),(0,1)}.
card(B) = 2.

par **georgess** » 30 Déc 2007, 23:35

d'accord donc je dois montrer que ce système est libre donc que x = y = z = t = u = 0 , c'est avec le pivot de gauss c'est ça ? et si c'est avec le pivot de gauss je vais devoir exprimer certaines variables en considérant les autres comme des paramètres ?

par **charif** » 31 Déc 2007, 00:45

bonjour:

soit E un Kev. on prend autant de scalaires arbitraires que de vecteurs de l'espace E qu'on veut demonter qu'ils forment une famille libre ..ensuite ..en multiplie chaque vecteur par un scalaire et on écrit l'equation = à 0 ensuite en essaye de montrer que les scalaires sont nuls et tout sa ca depend de la nature des vecteurs considerés( attention à la nature du 0 de l'equation)
le 0 est le zéro de l'espace consideré

par **georgess** » 31 Déc 2007, 01:35

ici on les a déjà les scalaires...

par **bruce.ml** » 31 Déc 2007, 02:28

Argentoratum a écrit:Erreur, (0,0) n'engendre rien et n'est donc pas une base.

Ensuite la dimension d'un espace vectoriel est le cardinal d'une de ses bases.

Salut,

(0,0) engendre bien le sous espace vectoriel nul. La raison pour laquelle ce n'est pas une base est que ce n'est pas une famille libre ! En effet : 1 x (0,0) = (0,0)

par **Argentoratum** » 31 Déc 2007, 02:39

Je ne suis absolument pas d'accord, le sous espace vectoriel nul n'existe pas. Ca n'a pas de sens.

par **bruce.ml** » 31 Déc 2007, 02:56

Argentoratum a écrit:Je ne suis absolument pas d'accord, le sous espace vectoriel nul n'existe pas. Ca n'a pas de sens.

{0} est un espace vectoriel, de dimension zéro, et de base la famille : ( ). Si tu ne considères pas cet espace vectoriel, tu ne peux pas faire d'algèbre linéaire.

par **georgess** » 31 Déc 2007, 14:53

et sinon quelqu'un peut il me dire comment prouver que le système est libre svp ?

par **georgess** » 31 Déc 2007, 14:54

dites moi surtout s'il vous plait précisément les étapes à réaliser pour trouver la base d'un sev déterminé par un système d'equations...

merci

par **georgess** » 03 Jan 2008, 23:00

mais je comprends pas pq la dimension de mon sev c'est 5-2 , j'ai rien dans mon cours qui dit que quand on a un espace de n dimensions et un sev de k equations , alors la dimension du sev c'est n-k , comment tu le prouves ça ?

ensuite tu écris :

"On voit facilement que le vecteur (x,y,z,t,u) = (0,0,0,1,-1) vérifie le système.
de même que le vecteur (2,0,-1,-1,0) ainsi que (2,-1,0,-1,0)."

mais je ne comprends pas car si on prend l'écriture matricielle on a 5 vecteurs de dimensions 2 , ici tes vecteurs sont de dimension 5...

merci pour tes éclaircissements .

Sous espace vectoriel

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evariste galois

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