Sous-Espace vectoriel

[nythostyle]

Bonjour, j'ai une question d'algèbre linéaire à vous poser j'ai du mal avec les explications qui sont donnés dans mon cours j'aimerais si possible une résolution avec explication de la démarche à suivre.



Comment résoudre ce type d'exercice? Je ne tiens pas à avoir toutes les réponses juste la démarche à suivre sur un exercice de chaque points si possible.

Voici ce que me dit la théorie de mon cours



Je suis perturbé par ces deux phrases :

"X contient toute somme d'élements de X"
"X contient tout produit par un scalaire d'éléments de X"


Je m'excuse d'ores et déjà si ma question ne relève pas d'un niveau supérieur, je fais des études d'économie dont notre cours de math est relativement "basique"

[pascal16]

1) dans R², un élément, c'est un vecteur V(Vx,Vy)

la stabilité par somme devient si V et W sont dans A, V+W doit l'être aussi
V+W a pour coordonnées (Vx+Wx,Vy+Wy)

la stabilité par somme devient si V est dans A, kV, k réel doit y être aussi
kV a pour coordonnées (kVx,kVy)


pour A
est ce que (0.5;0.5) est dans A ?
est ce que 10 000 fois ce vecteur l'est ?

[nythostyle]

1) dans R², un élément, c'est un vecteur V(Vx,Vy)

la stabilité par somme devient si V et W sont dans A, V+W doit l'être aussi
V+W a pour coordonnées (Vx+Wx,Vy+Wy)

la stabilité par somme devient si V est dans A, kV, k réel doit y être aussi
kV a pour coordonnées (kVx,kVy)


pour A
est ce que (0.5;0.5) est dans A ?
est ce que 10 000 fois ce vecteur l'est ?

Non, pour le premier exercice je comprends assez facilement car il s'agit d'inconnu il me suffit de paramètrer x et y en fonction de la condition imposée et ainsi trouver 2 vecteurs pour vérifier la stabilité par multiplication et addition, mais par exemple dans l'exercice 3 on me donne un unique vecteur A = (0,0,0) dans ce cas-ci comment vérifier la stabilité par addition avec un autre vecteur? Je prends un vecteur quelconque de R3?

[pascal16]

pour les 3A et 3C, facile
V1,V2 et V3 les vecteurs données

s'ils sont liés, il existe a,b et c tel que aV1+bV2+cV3=0.
de manière évidente c n'est pas nul, on peut se ramener à :
il existe a et b tels que aV1+bV2=V3.

si le système n'a pas de solution, ils sont libres

pour 3B et 3D, tu as vu le déterminant de matrice ?
le 3B est faisable à la main aV1+bV2+cV3+dV3=0.
mais forcément c=-d/2 pour que la 4ieme coordonnée soit nulle

[pascal16]

pour le 1 :
A,D et F posent des problème de stabilité par somme
E ne contient pas (0;0)
B et C sont deux droites vectorielle, des ss ev.

pour le 2 :
A est l'origine, est un ss ev (vecteur nul)
B est une droite vectorielle de vecteur directeur a
C est un plan vectoriel
D est un plan vectoriel dans le cas général, une droite vectorielle si a ou b est nul et un point si les deux le sont
même démarche pour E,F et H
G est un plan qui ne passe pas par l'origine, il n'est pas un ss ev et, sauf erreur de ma part, c'est le seul

[nythostyle]

pour le 1 :
A,D et F posent des problème de stabilité par somme
E ne contient pas (0;0)
B et C sont deux droites vectorielle, des ss ev.

pour le 2 :
A est l'origine, est un ss ev (vecteur nul)
B est une droite vectorielle de vecteur directeur a
C est un plan vectoriel
D est un plan vectoriel dans le cas général, une droite vectorielle si a ou b est nul et un point si les deux le sont
même démarche pour E,F et H
G est un plan qui ne passe pas par l'origine, il n'est pas un ss ev et, sauf erreur de ma part, c'est le seul

Merci, je me suis trompé je parlais de l'exercice 2 A pas le 3 A, donc tout vecteur nul avec n élements est un sous espace vectoriel de Rn si je te suis ? C'est à dire que dans ma tête j'essaie de suivre une démarche générique c-à-d vérifier les 3 conditions (Vecteur nul inclus, stabilité par addition et multiplication) mais je ne vois pas comment le vérifier avec le vecteur nul, ça parait peut-être stupide de ma part je m'en excuse mais j'essaie de comprendre

[aviateur]

Bonjour
Je me permets de prendre un peu le relais des explications.
est bien un s-e-v de
En effet, il s''agit d'un problème de logique.

-A contient le vecteur nul (proposition vraie)

- A est stable par addition, ce qui veut dire

(proposition vraie)

et c'est surement là ce qui te gène. Mais si tu penses que ce n'est pas vrai, essaye de trouver x et y ds A tel que x+y ne soit pas dans A.

- A est stable par multiplication par un réel.

En effet pour tout on a

Conclusion les trois conditions sont vérifiées: A est un s-e-v de