Sous espace vectoriel

[dubrundaniel]

Bonjour
On a E espace vectoriel et F, G deux sev
Je dois montrer que :
Si on a FUG=E alors on a F=E ou G=E.
Pour montrer les proposition ou j'ai essayé de supposer l'un faux pour montrer le second. J'ai essayé par l'absurde totalement.
A chaque fois, soi je tourne en rond, soit je montre que tout x de E est soit dans F, soit dans G.

Merci d'avance pour votre aide

[aviateur]

Bonjour
Essayons un raisonnement par contradiction:
On suppose que F et G sont strictement inclus dans E.
Alors, d'après l'hypothèse, on ne peut avoir F inclus dans G (et de même G inclus dans F). Il existe dont x dans F mais pas dans G et y dans G mais pas dans F.
Or x+y est dans E=F union G, donc il est par exemple dans F. Mais y=(x+y)-x est dans F (car F un e-v). On obtient ici une contradiction.....

[Pseuda]

Bonjour,

Le résultat : FUG est un ss-ev de E ssi F est inclus dans G ou G est inclus dans F donne (à condition qu'on ait le droit de l'utiliser dans le contexte) directement le résultat.

Si FUG=E, c'est un ss-ev, donc FUG = E= F ou G.

[aviateur]

Bonjour @Pseuda
Justement cet exercice conduit au résultat que tu annonces. Je ne pense pas qu'il faille l'utiliser.

[Pseuda]

Bonsoir @aviateur,

Si la question précédente était : "Montrer que FUG est un ss-ev de E ssi F est inclus dans G ou G est inclus dans F", je ne vois pas ce qui l'empêche de l'utiliser. FUG=E est pour moi un cas particulier de cette proposition.

Mais on peut aussi le voir dans l'autre sens en effet.

[aviateur]

bien sûr mais je ne pense que c'était la question précédente. De toute façon si c'était le cas cela serait le même genre de démo puisque visiblement il y a équivalence.

[Pseuda]

Bonjour aviateur,

En fait ce que je voulais dire par là, c'est que l'énoncé est bizarre dès qu'on connait un minimum les espaces vectoriels. On sait automatiquement que la réunion de 2 ss-ev n'est pas en général un ss-ev, et ne l'est que si l'un est inclus dans l'autre (c'est du cours ou presque, ou un exemple donné dans le cours, ou un exercice donné dans les premiers). Donc si FUG=E e-v, c'est que F ou G = E.

Mais tu as raison, cet exemple n'a peut-être pas encore été vu.

[dubrundaniel]

Je n'avais effectivement pas le droit d'utiliser le résultat sur la réunion des sev. Le raisonnement par l'absurde a fini par aboutir, merci de votre aide