Sous-espace vectoriel

[Ncdk]

Bonsoir,

J'ai pu trouver une proposition dans mes cours, qui n'est d'ailleurs pas démontrer et qui dit la chose suivante :

Soit , avec V un K-espace vectoriel

On a les trois conditions suivantes qui sont équivalentes :

• S est une base
• S est une partie libre maximale
• S est une partie génératrice minimale

Tout d'abord, je ne sais pas si l'énoncé est complet, le cours est assez brouillon, certaines choses sont dîtes oralement et pas forcément écrite, c'est un peu gênant.
Mais de plus je sais pas ce que c'est une partie libre maximale, c'est la plus grande partie libre S dans l'espace vectoriel V ?
De la même manière, S est une partie génératrice, c'est le plus petite partie génératrice ?
Pourtant, quand on dit que S est une partie génératrice d'un espace vectoriel V, c'est dire que <S>=V, donc c'est forcément la plus petite partie génératrice de l'espace vectoriel V ?

[Robot]

Il n'y a pas de plus grande partie libre ou de plus petite partie génératrice (sauf pour l'espace nul ou pour une droite vectorielle sur le corps à deux éléments)
Partie libre maximale veut dire : partie libre qui n'est contenue strictement dans aucune autre partie libre (autrement dit, partie libre qui devient liée dès qu'on ajoute un nouvel élément).
Partie génératrice minimale veut dire : partie génératrice qui n'a aucun sous-ensemble strict générateur (autrement dit, qui n'est plus génératrice dès qu'on lui enlève un élément).

[Ben314]

Salut,
C'est on ne peut plus "couillon" :
- Une partie libre maximale, c'est une partie libre qui, si tu lui rajoute un élément (n'importe lequel), cesse d'être libre.
- Une partie génératrice minimale, c'est une partie génératrice qui, si tu lui ôte un élément, cesse d'être génératrice.
Et ce résultat est très facile à démontrer.

Attention : a priori, si tu comprend bien ce que ça dit, ça ne signifie pas qu'une partie "libre maximale" a forcément le plus grand nombre possible d'élément : on sait qu'on ne peut pas en rajouter (en restant libre), mais qui nous dit qu'en en enlevant 3 il n'y aurais pas moyen ensuite d'en ajouter 4 (en restant libre)?
Idem pour "génératrice minimale".

Mais en fait, il y a un résultat qui est pas mal plus compliqué à démontrer (donc assez souvent admis et qui doit être plus loin dans ton cours) qui te dit que toutes les bases d'un même espace vectoriel ont le même nombre d'élément (qu'on appelle la dimension de l'espace) et qui au final te dit que les "familles libres minimales", elle sont aussi minimale dans le sens que le nombre d'élément qu'elles ont est le minimum de ce qui est possible.

[Ncdk]

Bonjour,

Merci de vos réponses, c'est très clair
J'avoue que j'ai du lire plusieurs fois avant de comprendre

les "familles libres minimales", elle sont aussi minimale dans le sens que le nombre d'élément qu'elles ont est le minimum de ce qui est possible.

C'est dit dans la preuve ce genre de chose ? J'ai ça dans mon cours, mais pas de démonstration, c'était une piqure de rappel sur les espaces vectoriels, donc on a pas épilogué sur le sujet

[Ben314]

Je pense pas que tu trouve une preuve particulière de ce truc là vu que c'est un corollaire (sans grande importance) du théorème trés important qui te dit que :

Si un espace vectoriel E admet une famille génératrice finie alors il admet des bases finies et toutes les bases de E ont le même cardinal appelé dimension de E et noté dim(E).
De plus
- Toute famille libre de E a un cardinal dim(E) avec égalité ssi c'est est une base de E.
- Toute famille génératrice de E a un cardinal dim(E) avec égalité ssi c'est une base de E.

[Ncdk]

Ah oui je l'ai ce théorème, il est pas dit de cette manière, mais bon je vois le théorème en question

Merci de l'aide

[Robot]

L'espace vectoriel V dans le premier post était supposé de dimension finie ?

[Ncdk]

Je ne sais pas, comme l'énoncé me parait léger en condition, à priori, ce n'est pas stipulé. Je ne sais pas si ça marche pour tout espace vectoriel, dimension finie ou infini.
Ce qui m'interpelles c'est le fait que S est une base, mais on précise pas si elle finit ou pas, donc je pense sais pas trop quoi en conclure. V peut être de dimension finie ou infinie, cela à un impact sur les équivalences ?

[Robot]

Non, les équivalences de ton 1er post sont toujours valables., et la démonstration de l'équivalence est la même.
Par contre, il faut être plus prudent avec ce que Ben314 énonce : il est faux qu'une famille libre de cardinal égal à la dimension de l'espace soit une base, par exemple.

[Ben314]

D'un autre coté, vu qu'il commence juste à voir la notion d'espaces vectoriels, je parierais assez fort que la notion de "cardinal égal" pour des ensembles infinis n'évoque absolument rien pour lui.

Donc je suis pas certain qu'il soit super judicieux de lui parler d'un truc qui ne marche pas dans un cas... qui n'a aucun sens pour lui...

[Robot]

Ncdk :

J'ai ça dans mon cours, mais pas de démonstration, c'était une piqure de rappel sur les espaces vectoriels, donc on a pas épilogué sur le sujet

Ben314 :

vu qu'il commence juste à voir la notion d'espaces vectoriels

[Ben314]

Je vois pas vraiment ce que ça change au fait que c'est pas malin du tout de parler de problème lié à l'existence de bases en dimension infinie a quelqu'un qui a visiblement déjà du mal a comprendre les notion de base.
Ton but, c'est de l'embrouiller encore plus ou quoi ?

[Robot]

Qu'est-ce qui te prend ?
A quoi vois-tu qu'il a du mal à comprendre les notions de base ? (ou la notion de base ?)
Tu le vois de la même façon que tu vois qu'il commence juste à voir la notion d'espace vectoriel ?
Ncdk poste sur le forum supérieur depuis mars 2014.

[Ncdk]

Je veux pas donner à raison à qui que ce soit, mais mes connaissances sont faibles, la preuve, je poste ici sur un truc vu il y a presque deux ans, mais j'ai compris tardivement comment bien travailler, donc beaucoup de choses ne sont pas connu, ni apprise et du coup maîtrisé.

Donc au final, j'ai vu tout ça, mais je suis nul sur ça, donc au final c'est comme si je l'avais jamais vu

Bonne soirée