Sous-espace vectoriel

par **Chach2** » 08 Jan 2012, 15:52

Bonjour,

Je viens de commencer les espaces vectoriels, et j'aimerais comprendre pourquoi x+y=0 nous donne un plan et non une droite (puisque les deux vecteurs sont colinéaires: on aurait x(1,-1,0))? En faite on a un z, mais comme le paramètre a (az) est nul, z n'apparaît plus dans le système. Mais cela veut-il dire qu'on a: x(1,-1,0) + z(0,0,1) ce qui nous donne bien un plan?. Merci

par **barbu23** » 08 Jan 2012, 16:11

Salut : :happy3:
Sauf erreur, si tu écris :

sous espace vectoriel de

, ça veut dire que tu as deux équations :

et

, c'est donc l'équation d'un plan ...
Par contre, si tu écris :

tout seul ( c'est à dire, sans

), alors,c'est l'équation d'une droite, et dans ce cas là , on aura :

et non

...
D'où, la question : est ce que ton exo contient deux equations :

et

ou bien une seule équation :

?

par **Chach2** » 08 Jan 2012, 16:13

Bonjour :)

J'ai le système d'équation suivant:

- x - y + az =0
az = 0
x + y = 0

comme on se place dans le cas où a = 0, je présume qu'on a bien le z(0,0,1) d'où le plan.

par **barbu23** » 08 Jan 2012, 16:30

Salut : :happy3:
Si on se place dans le cas :

alors :

:

, d'où :

Soit

le sous espace vectoriel de

solution de ton système. alors,

s'écrit :

:

( car :

et

(

est arbitraire )
D'où :

Il reste à montrer que :

Pour celà, il faut montrer que la famille :

est libre ( essaye de montrer ça )
Par conséquent : dans

( Espace de

dimensions ) , on a :

, donc,

est un plan.

par **Chach2** » 08 Jan 2012, 16:35

Ok.

Pour montrer qu'elle est libre, est-ce qu'on peut tout simplement dire qu'elle est constituée de deux éléments et donc elle n'est nécessairement pas liée?

par **barbu23** » 08 Jan 2012, 16:40

Non, tu écris ça à la main ... :happy3:
Tu fais comme ça : :happy3:

Soient

tels que :

.
.
.
... (Tu fais un simple petit développement, jusqu'à arriver ... ) ...
.
.
.
... à

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