Sous-espace affine

[jonses]

Bonjour,

J'essaye de montrer un petit truc sur les sous-espace affine, mais ça fait plusieurs jours que je suis bloqué dessus :

-

Soit un K-espace vectoriel.
Soit
Soit un sous-espace vectoriel de E

Sachant que est un sous-espace affine de E lorsque est sous-espace vectoriel, qui est nommé direction du sous-espace affine, de E :

je dois montrer qu'il existe un unique sous-espace affine de E contenant et de direction , et que c'est

-

En notant , j'ai rapidement montré que c'est un sous-espace affine de E contenant et de direction F


Mais pour ce qui est de l'unicité, j'ai un mal fou à aboutir :

je me suis donné un sous-espace affine contenant et de direction ,

j'ai montré sans trop de difficulté que .

Mais je suis bloqué pour l'autre inclusion : je n'arrive pas à montrer avec la définition de sous-espace affine qui m'a été donné


Si quelqu'un peut m'aider svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Doraki]

T'es sur qu'il y a pas une autre hypothèse sur ?
Parceque si tu prends par exemple quand K = R et E = R^3, = {(x,y,z) / z = 0 et x²+y² est un entier} (donc une réunion de cercles concentriques), tu peux montrer queest le plan z=0, qui est un bien un sev.

Par contre n'est clairement pas un espace affine.

[jonses]

T'es sur qu'il y a pas une autre hypothèse sur ?

Non rien de plus que ce que j'ai écrit, et étonnamment c'est une définition dans mon cours.

Parceque si tu prends par exemple = {(x,y,z) / z = 0 et x²+y² est un entier} (donc une réunion de cercles concentriques), tu peux montrer queest le plan z=0, qui est un bien un sev.

Par contre n'est clairement pas un espace affine.

Est-ce que tu pourrais stp un peu détailler ton contre-exemple, je ne comprends pas très bien la définition de cette ensemble : = {(x,y,z) / z = 0 et x²+y² est un entier}

et surtout pourquoi est le plan z=0 (et donc un sev) ?

[Doraki]

J'ai pris K = R et E = R^3

Quand t'as un cercle de rayon r centré en 0, l'ensemble des (u-v) pour u et v pris sur le cercle, est le disque de rayon 2r.
Donc si tu prends F' = une réunion de cercles dont les rayons peuvent être arbitrairement grands, ben l'ensemble des u-v pour u et v pris sur ces cercles, est le plan tout entier.

[jonses]

J'ai pris K = R et E = R^3

Quand t'as un cercle de rayon r centré en 0, l'ensemble des (u-v) pour u et v pris sur le cercle, est le disque de rayon 2r.
Donc si tu prends F' = une réunion de cercles dont les rayons peuvent être arbitrairement grands, ben l'ensemble des u-v pour u et v pris sur ces cercles, est le plan tout entier.

Désolé, mais j'ai vraiment du mal à voir ce que tu veux dire :

pour moi, cet ensemble que tu as introduit = {(x,y,z) / z = 0 et x²+y² est un entier}, je le comprends :



Et dans ce cas j'ai un peu du mal à comprendre pourquoi l'ensemble des u-v pour u et v dans est le plan tout entier : qu'en est-il des éléments distants, disons de , de 0 ?

[Ben314]

Fait un dessin : si C est un cercle centré en (0,0) du plan et de rayon R, l'ensemble des u-v où u et v sont dans C, c'est le disque de même centre et de rayon 2R : pour le voir, il suffit de voir que si on prend un point M dans ce disque et qu'on trace le cercle centré en M et de rayon R, il va couper le cercle C de départ.

Donc, par exemple, les points à distance pi de l'origine, il s'écrivent u-v avec u et v sur le cercle de centre 0 de rayon 2...

(perso, j'était parti sur un exemple plus compliqué : si F={(x^2,x^3) avec x dans R} tu montre aussi que F-F c'est R^2 tout entier...)

Donc en résumé, la définition que tu as de "sous espace affine", ben elle va pas du tout...

[Doraki]

Désolé, mais j'ai vraiment du mal à voir ce que tu veux dire :

pour moi, cet ensemble que tu as introduit = {(x,y,z) / z = 0 et x²+y² est un entier}, je le comprends :



Et dans ce cas j'ai un peu du mal à comprendre pourquoi l'ensemble des u-v pour u et v dans est le plan tout entier : qu'en est-il des éléments distants, disons de , de 0 ?

Ben par exemple, (pi,0) c'est la différence entre (pi/2, sqrt(10-pi²/4)) et (-pi/2, sqrt(10-pi²/4)), qui sont tous les deux sur le cercle d'équation x²+y² = 10

[jonses]

C'est vrai, il serait temps que je visualise mieux les problèmes mathématiques à l'aide de la géométrie...

En fait, au début, j'avais surtout un problème avec la définition de l'ensemble de Doraki : je voulais bien être sûr que c'est les points d'un cercle de rayon r où r est un entier naturel .
Puis j'ai baratiné pour rien, etc..

perso, j'était parti sur un exemple plus compliqué : si F={(x^2,x^3) avec x dans R} tu montre aussi que F-F c'est R^2 tout entier...

Pourtant, il a l'ai tout aussi intéressant ton exemple, peut-être un peu plus calculatoire (ça doit pas être évident de montrer que tout couple (a,b) de réels s'écrit (x²-y²,x^3-y^3) avec x et y des réels)

Donc en résumé, la définition que tu as de "sous espace affine", ben elle va pas du tout...

Mince, et pourtant dans mon cours, j'ai écrit ça :

>

[Doraki]

C'est toi qui l'a écrit ou c'est de quelqu'un d'autre (genre c'est un cours sur le net ?)

moi j'ai jamais vu d'autre définition que la 2ème que tu as donnée (il existe u0 tel que F-u0 est un sev de E)

[jonses]

C'est toi qui l'a écrit ou c'est de quelqu'un d'autre (genre c'est un cours sur le net ?)

moi j'ai jamais vu d'autre définition que la 2ème que tu as donnée (il existe u0 tel que F-u0 est un sev de E)

C'est quelqu'un d'autre (pour être plus précis le prof de math que j'ai en cours), en revanche sur le net c'est la deuxième que je rencontre souvent (d'ailleurs j'étais assez étonné par de mon prof lorsque j'ai vu cette déf de sous-espace affine, comme je m'étais habitué à la deuxième, j'ai trouvé ça bizarre)