Question cours sous espace affine?

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Abilys38
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Question cours sous espace affine?

par Abilys38 » 06 Déc 2016, 10:25

Bonjour,

Je viens de démarrer le cours sur les espaces vectoriels et je n'arrive pas du tout à me représenter un sous espace affine. Quelqu'un pourrait m'éclaircir un peu sur sa représentation, son utilité, etc.
Il n'y a pas grand chose sur google..

Merci beaucoup !!
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Doraki
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Re: Question cours sous espace affine?

par Doraki » 06 Déc 2016, 12:48

Ben par exemple ça pourrait être une droite dans R²
(et qui contrairement aux droites vectorielles (sous-espaces vectoriels), ne passe pas par (0,0))

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Re: Question cours sous espace affine?

par Abilys38 » 06 Déc 2016, 13:03

Un sous espace affine, c'est simplement la translation d'un sous espace vectoriel?

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Re: Question cours sous espace affine?

par Doraki » 06 Déc 2016, 14:05

Ben oui, si x est un vecteur de E on peut appeler l'application E -> E qui à y associe x+y, la "translation par x". (c'est assez universel comme nom d'ailleurs, tout le monde comprendra si tu parles de translation par x dans ce contexte là)

Et avec ce nom là eh bien l'image d'un sous-espace vectoriel F de E par la translation par x, ben c'est {x+f ; f dans F} et c'est très exactement ce qu'il y a marqué dans ta définition, et on peut aussi le noter x+F (si on se promet de ne jamais confondre vecteur avec sous-espace vectoriel pour qu'il n'y ait pas d'ambiguité avec les autres utilisations de +)

---

Mais attention plus tard (enfin ptetre que tu en as déjà vu je sais pas), tu verras les "espaces affines", et ces espaces affines auront aussi des "sous-espaces affines", ce sera presque la même chose mais un chouïa différent. Donc en vrai t'auras 2 définitions, "sous-espace affine d'un espace vectoriel" et "sous-espace affine d'un espace affine"

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Re: Question cours sous espace affine?

par Ben314 » 06 Déc 2016, 14:14

Salut,
C'est effectivement une façon de voir les choses, plus ou moins bonne en fonction du contexte (*)

Si tu est dans R^2 (qui est un espace vectoriel et aussi un espace affine), les droites vectorielles (=s.e.v. de dim 1), ce sont les droites qui passent par (0,0), c'est à dire d'équation ax+by=0 (avec (a,b)(0,0)) soit encore y=px ou bien x=0.
Les droites affines (=s.e.affine de dim 1) ce sont toutes les droites, donc d'équation ax+by+c=0 (avec (a,b)(0,0)) soit encore y=px+q ou bien x=.

(*) Là ou c'est pas forcément le bon point de vue (ça dépend de ce que tu as dans ton cours), c'est que tout espace vectoriel E peut être vu comme un espace affine (et dans ce cas, les s.e.a. sont bien des "translatés" des s.e.v.) et il est tout à fait possible que ton cours ne parle que de ce cadre là : sauf erreur c'est comme ça que c'est présenté en prépa à l'heure actuelle et la définition que tu as copié dans ton post va dans ce sens.

Mais dans le cadre général (qui est celui que tu trouvera quasiment partout sur internet), un espace affine ça peut parfaitement ne pas être un espace vectoriel donc les trucs que tu trouvera sur le net risquent éventuellement te sembler "bizarres" vu la définition simplifiée que tu as.

EDIT : Pas vu la prose de Doraki lorsque j'ai tapé la mienne et après l'avoir lu, ben c'est évidement "légèrement redondant"...
Modifié en dernier par Ben314 le 06 Déc 2016, 14:42, modifié 1 fois.
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Re: Question cours sous espace affine?

par Abilys38 » 06 Déc 2016, 14:32

Merci pour vos réponses.
Ca m'a éclairci les idées !

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Ben314
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Re: Question cours sous espace affine?

par Ben314 » 06 Déc 2016, 14:48

Si on veut un peut rentrer dans les détails concernant la façon dont c'est enseignée où on écrit au fond que Espace affine = espace vectoriel :
- C'est évidement plus simple pour "faire des calculs" vu qu'on a pas besoin de définir un quelconque nouveau concept.
- Mais au niveau "logique", c'est quand même on ne peut plus louche : des "points" (=éléments d'un espace affine), tu en manipule depuis la sixième, voire même avant. Et des vecteurs (=éléments d'un espace vectoriel), tu en manipule depuis la seconde (ou première, je sais plus). Et normalement, avec le point de vue qu'on t'a donné en Collège/Lycée, il est assez clair que PointVecteur et que par exemple "point+point", ça veut pas dire grand chose alors que "vecteur+vecteur" ça a du sens (c'est un vecteur) et qu'on peut considérer que "point+vecteur" ça a du sens (c'est un point).
Tout ça explique que, normalement, on considère que les "points" et les "vecteurs" ne "vivent pas" dans le même ensemble.
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Re: Question cours sous espace affine?

par Abilys38 » 06 Déc 2016, 15:12

Mais pourquoi est ce qu'un espace affine est composé de points?
Puisque c'est la translation d'un espace vectoriel, il est également constitué de vecteurs, non?

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Re: Question cours sous espace affine?

par Ben314 » 06 Déc 2016, 15:25

Ben justement, le point de vue que tu trouvera quasiment partout sur internet (par exemple sur Wiki), c'est qu'un espace affine, ce n'est pas (uniquement) le translaté d'un sous espace vectoriel.
Et en fait, c'est la même chose concernant une translation : que ce soit la vision "naïve" ou la vision consistant à voire les espaces affine comme différents des espaces vectoriels, dans les deux cas, une translation, on la voit plutôt comme une application "Point -> Point" que "Vecteur -> Vecteur".

A mon avis, le plus simple (pour le moment), c'est sans doute de te dire que, par exemple dans R^2, le couple (x,y), ça peut désigner soit un point, soit un vecteur donc que vu sous un certain angle (calculatoire), c'est un peu la même chose.
Ce que j'essayai de te dire concernant la différence, c'est pour que tu fasse le lien entre ce que tu fait en ce moment et ce que tu as vu au collège où on ne parle que de "points" et pas de "vecteurs" et où on parle de sous espace affine (c'est à dire de droite) sans vraiment privilégier les sous espaces vectoriels (= droites passant par l'origine).
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Re: Question cours sous espace affine?

par Pseuda » 07 Déc 2016, 00:10

Abilys38 a écrit:Mais pourquoi est ce qu'un espace affine est composé de points?
Puisque c'est la translation d'un espace vectoriel, il est également constitué de vecteurs, non?

Bonsoir,

Effectivement, il est également constitué de vecteurs, mais il faut préciser qu'une fois qu'on s'est donné une origine O (avec laquelle on confond l'espace vectoriel avec l'espace affine où on se situe), on identifie par bijection, (ou on confond) le vecteur (de la translation) avec le point . Ce qui fait que le sous-espace affine est constitué de points (extrémités des vecteurs constitués de la somme du vecteur de la translation et des vecteurs du sous-espace vectoriel).

Le sous-espace affine translaté d'un sous-espace vectoriel par un vecteur devient ainsi le sous-espace affine passant par M et de direction le sous-espace vectoriel dont il est le translaté.

Pour résumer, une fois qu'on s'est donné un point d'origine de l'espace, alors vecteur = point. A un sous-espace affine, ne correspond qu'un seul sous-espace vectoriel (sa direction), à un sous-espace vectoriel, correspondent plusieurs sous-espaces affines.

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Re: Question cours sous espace affine?

par Abilys38 » 07 Déc 2016, 22:38

Bonjour,

Merci pour toutes ces informations qui m'ont été bien utiles.
J'ai une autre petite question: Que signifie: espace vectoriel "vu comme" ...
Le contexte:

Merci beaucoup !
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Re: Question cours sous espace affine?

par Ben314 » 08 Déc 2016, 00:46

Si tu dit juste que "C est un espace vectoriel", c'est pas clair du tout de ce que tu entend par là vu que C est un C-espace vectoriel mais aussi un R-espace vectoriel.

Si tu regarde C comme un R-espace vectoriel, alors, il est de dimension 2, il est isomorphe à R², il admet comme s.e.v. {0}, C tout entier et toutes les droites vectorielles (de dimension 1). Une base de C, c'est la donnée de deux complexes z1 et z2 non nuls tels que z1/z2 ne soit pas réel : tout les complexes s'écrivent alors de façon unique z=alpha.z1+beta.z2 avec alpha et beta dans le "corps de base", c'est à dire dans R.
De façon générale, dans ce contexte, la notion de "scalaire x vecteur", ça veut dire "réel x complexe"

Si tu regarde C comme un C-espace vectoriel, alors il est de dimension 1, il n'est surement pas isomorphe à R² vu que R² n'est pas un C-espace vectoriel (en tout cas pas avec sa structure usuelle), les seuls s.e.v. sont {0} et C tout entier et enfin une base de C, c'est la donnée d'un unique complexe z0 non nul : tout les complexes s'écrivent alors de façon unique z=lambda.z0 avec lambda dans le "corps de base", c'est à dire dans C.
De façon générale, dans ce contexte, la notion de "scalaire x vecteur", ça veut dire "complexe x complexe"

Bref, ça a quasiment rien à voir l'un avec l'autre donc quand on parle de C comme espace vectoriel, il faut forcément préciser si c'est en temps que R-e.v. ou en temps que C-e.v.
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Re: Question cours sous espace affine?

par Abilys38 » 08 Déc 2016, 10:28

D'accord merci.
Donc, pour un sev de C vu comme C espace, il faudrait que pour n'importe quel scalaire qui appartient à C, la loi externe appartienne au sev (ici wR). Or, prenons le scalaire a+i: (a+i) . wR appartient à wR ssi w = 0 ?

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Re: Question cours sous espace affine?

par Abilys38 » 08 Déc 2016, 10:29

D'accord merci.
Donc, pour un sev de C vu comme C espace, il faudrait que pour n'importe quel scalaire qui appartient à C, la loi externe appartienne au sev (ici wR). Or, prenons le scalaire a+i: (a+i) . wR appartient à wR ssi w = 0 ?

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Re: Question cours sous espace affine?

par mathelot » 08 Déc 2016, 11:47

bonjour,
je te conseille la lecture des 35 premières pages du livre "Géométrie" de Michèle Audin chez
l'éditeur EDP Sciences

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Re: Question cours sous espace affine?

par Abilys38 » 08 Déc 2016, 11:52

Bonjour, je vois que c'est niveau L3 M1. Je suis à mon quatrième mois de mathématiques supérieur. Est ce que ça peut poser problème pour les 35 premières pages?

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Re: Question cours sous espace affine?

par mathelot » 08 Déc 2016, 11:59

Abilys38 a écrit:Bonjour, je vois que c'est niveau L3 M1. Je suis à mon quatrième mois de mathématiques supérieur. Est ce que ça peut poser problème pour les 35 premières pages?



non, ça ne pose pas de problème. L'absence de géométrie en L1,L2 est dûe à une volonté politique
plus qu'à des difficultés didactiques. En clair, si on ne fait pas de géométrie en L1,L2, c'est que ça a été décidé ainsi par les responsables des programmes.

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Re: Question cours sous espace affine?

par Ben314 » 08 Déc 2016, 14:15

Abilys38 a écrit:D'accord merci.
Donc, pour un sev de C vu comme C espace, il faudrait que pour n'importe quel scalaire qui appartient à C, la loi externe appartienne au sev (ici wR). Or, prenons le scalaire a+i: (a+i) . wR appartient à wR ssi w = 0 ?
Je comprend rien et principalement, même en la lisant 4 fois, je vois vraiment pas ce que la partie rouge peut bien vouloir dire : "une loi qui appartient à un s.e.v." ?????
Sinon, tu peut essayer de retrouver ce que ça signifie dans ce cas particulier là, mais le B-A-BA de l'algèbre linéaire te dit que, vu que C est un C-espace vectoriel de dimension 1, les C-sous espaces vectoriels de C sont de dimension 0 ou 1 et donc qu'il n'y en a que deux : {0} et C tout entier, c'est tout.
Et si tu veut le retrouver "à la main", ça consiste à voire que dés qu'un C-s.e.v. contient un complexe non nul z0, il est obligé d'être égal à C tout entier vu que tout complexe z s'écrit z=lambda.z0 avec lambda dans C (=corps de base)
Et évidement, ça serait pas du tout le cas si on acceptait uniquement lambda dans R (i.e. avec C vu comme R-e.v.)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

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Re: Question cours sous espace affine?

par Abilys38 » 08 Déc 2016, 15:00

Ce que je veux dire (je me suis trés mal exprimé), c'est que, si nous voulons que wR soit un sous espace vectoriel de C vu comme C espace vectoriel, il faut que pour n'importe quel scalaire qui appartienne à C (notons le lambda), appartient à C. Ce que j'appelle la loi externe, c'est * qui associe un couple C x wR à wR.
Evidemment, si lambda n'est pas nul, ce n'est ici pas possible.

P.S: Je n'ai pas encore fait les dimensions d'un espace vectoriel.

Pseuda
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Re: Question cours sous espace affine?

par Pseuda » 08 Déc 2016, 15:23

Abilys38 a écrit:Ce que je veux dire (je me suis trés mal exprimé), c'est que, si nous voulons que wR soit un sous espace vectoriel de C vu comme C espace vectoriel, il faut que pour n'importe quel scalaire qui appartienne à C (notons le lambda), appartient à C. Ce que j'appelle la loi externe, c'est * qui associe un couple C x wR à wR.
Evidemment, si lambda n'est pas nul, ce n'est ici pas possible.

P.S: Je n'ai pas encore fait les dimensions d'un espace vectoriel.

Bonjour,

Il faut donc le montrer. Suppose w0, et exhibe un tel que , avec (donc ), n'appartienne pas à wR (il suffit de prendre ). Conclusion ?
Modifié en dernier par Pseuda le 08 Déc 2016, 15:25, modifié 1 fois.

 

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