Somme de exp(2ikpi/n) (somme des racines n-ième de l'unité)

[skyskiper]

Salut à tous!
J'ai un exercice à faire concernant les racines n-ième de l'unité. Voilà ce que je dois démontrer:

Mais j'ai un petit soucis... si on prend n=1, on a:

A moin que ce ne soit la fatigue du soir qui me joue des tours, ce que je dois démontrer est...faux?!

Enfin, admettons que l'énoncé est oublié de préciser que , à ce moment là, prenons n=4:

Cela nous redonne un résultat qui n'est pas en accord avec ce que je dois démontrer.

Bon admettons maintenant que l'énoncé se soit trompé, en plus, dans la somme (ça commence à faire beaucoup d'erreurs... mais bon...), et que . On a donc la démonstration suivante à réaliser:

J'aimerai avoir un peu d'aide... j'essai d'utiliser la propriété qui dit que mais je n'arrive pas à m'en servir pour arriver au bout de la démonstration.

Merci à tous ceux qui prendront le temps de m'aider!
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[abcd22]

Bonsoir,
il y a n racines nièmes de l'unité, il faut faire la somme de 0 à n-1 (sinon on a deux fois 1 dans la somme donc c'est logique qu'on trouve 1), ou de 1 à n c'est pareil. Le résultat n'est vrai qu'à partir de n = 2 (la seule racine 1ième de l'unité c'est 1), et le plus simple est de remarquer qu'on somme les termes d'une suite géométrique.

[alben]

Bonjour,

On peut aussi remarquer que les racines de l'unité sont par définition les solutions de et que pour toute équation dans C , la somme des racines est égale à qui est nulle dès que n>1 :we:

[skyskiper]

Bonjour,

On peut aussi remarquer que les racines de l'unité sont par définition les solutions de et que pour toute équation dans C , la somme des racines est égale à qui est nulle dès que n>1 :we:

Je ne pense pas que j'ai le droit d'utiliser ce théorème, nous ne l'avons pas encore vu en cours ni en TD. Mais merci quand même pour ton aide!

Bonsoir,
il y a n racines nièmes de l'unité, il faut faire la somme de 0 à n-1 (sinon on a deux fois 1 dans la somme donc c'est logique qu'on trouve 1), ou de 1 à n c'est pareil. Le résultat n'est vrai qu'à partir de n = 2 (la seule racine 1ième de l'unité c'est 1), et le plus simple est de remarquer qu'on somme les termes d'une suite géométrique.

Je pense que je vais essayer de démontrer que c'est une suite géométrique puis calculer la somme.
Merci à vous de m'avoir répondu!
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