Somme direct orthogonal

[Vlad-Drac]

Bonjour,
Un petit coup de main svp, que veut dire somme direct orthogonal ?
on me demande de montrer que E est la somme direct orthogonal de ker (u ) et de im (u)
sachant que u est une application lineaire tel que u(x) orthogonal a x et u*=-u

je pense qu'il faut que je montre que E = ker (u) + im (u) et que ker (u) est orthogonal à im(u) (d'ailleur je pense que la 2eme demonstration implique la 1ere non ?)
donc on sait que ker(u*) = l'orthogonal de im(u)
ker(-u) = l'orthogonal de im(u)
voila je ne vois pas quoi faire apres

[Nightmare]

Salut,

comment t'es-tu dans l'exercice sachant que tu ne comprends pas le vocabulaire employé dans l'énoncé?

Deux espaces sont dits en somme directe orthogonale s'ils sont orthogonaux et que leur intersection est réduite à {0}.

A toi.

[Skullkid]

Bonjour, en effet pour montrer que E est la somme directe orthogonale de F et G, il faut montrer deux choses : E est la somme directe de F et G, et F et G sont orthogonaux. Quand deux espaces sont orthogonaux, ils sont en somme directe, mais ça ne te dit pas que cette somme directe est égale à E.

Pour ton exercice, tu peux choisir de commencer par montrer que ker u et Im u sont orthogonaux. Pour ça, calcule le produit scalaire d'un élément quelconque de ker u par un élément quelconque de Im u, et pense à l'adjoint de u.

[Vlad-Drac]

merci a vous. je prend donc y apartenant à ker u et u(x) apartenant a im(u) j'ai
= = <-u(y),x> = 0 care y est dans ker u
y et u(x) sont orthogonaux car leur produit scalaire est nul :we:

ps @nightmare: c'est un Dm, j'ai vu le chapitre sur l'orthogonalité et celui sur les somme direct, mais on a jamais parlé de somme direct orthogonal meme si la définition se devine aisement je préfère demander ;)

[Vlad-Drac]

par contre je n'arrive pas à montrer que ker (u) et im(u) sont en somme direct.
si je prend x dans ker (u) alors u(x) = 0
et de fait, =0 et donc , ca ne mene a rien :marteau:

[Vlad-Drac]

soit x dans Ker u + Im u
u(x) = 0 et il existe y tel que x = u(y)
=> u(y) = 0
=> x = 0

est ce juste ? je ne suit pas sur de pouvori ecrire u(y)=0 je pense que c'est vrai seulement si
u o u=u
:/

[Vlad-Drac]

ha j'ai peu etre une reponse plus cohérente deduit de la question précédente.
j'ai montrer que u*=-u

donc soit x appartenant à ker u
=
=
= -
+ = 0
come u(x)=0
<0,x> + = 0
=0
implique x = 0 dapres la definition du produit scalaire
donc ker u =0 et donc ker u inter im u = 0

quelqun peut me dire si c'est bon SVP

[yos]

donc on sait que ker(u*) = l'orthogonal de im(u)
ker(-u) = l'orthogonal de im(u)
voila je ne vois pas quoi faire apres

ke(-u)=ker(u) donc tu as gagné.